دوال مثلثية: الفرق بين النسختين

النسخة الحالية 20:47، 1 مارس 2024

في الرياضيات، الدَّوَالّ المُثَلَّثِيَّة^{[عر 1]}^{[عر 2]} أو التَوَابِع المُثَلَّثِيَّة^{[عر 3]} أو الدَّوَالّ المُثَلَّثَاتِيَّة^{[عر 4]}^{[عر 5]}^{[عر 6]} أو الدَّوَالّ الدَائِرِيَّة^{[عر 4]}^{[عر 5]} (بالإنجليزية: Trigonometric Functions)‏ هي مجموعة من الدوال الحقيقيةٌ التي تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه.^[1] من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والرئيسة دالة الجيب ودالةُ جيبِ التمام، ودالة الظل. مقاليب هذه الدوال هي دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: قاطع التمام والقاطع وظل التمام على التوالي.

يعود حساب المثلثات إلى ما قبل الميلاد، تحديداً في مصر القديمة واليونان القديمة. وضع الرياضياتي طاليس مبرهنة طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، ووضع الرياضياتي فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس، حيث يشار إلى هاتين المبرهنتين بأنهما حجر الأساس لحساب المثلثات. بالإضافة إلى مصر واليونان، حقق علماء الحضارات الأخرى، بما في ذلك الصين والهند والدول الإسلامية والدول الأوروبية، تقدمًا ملحوظًا في علم المثلثات؛ فبرز الخوارزمي والبتاني وأبو الوفاء محمد البوزجاني وشين كوا وغوا شوجينغ وغيورغ يواخيم ريتيكوس وغيرهم.

يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها نسبةٌ بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على دائرة الوحدة. عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا °180 دائماً.

توجد تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة التكاملات ومتسلسلات القوى والمعادلات التفاضلية، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم متسلسلة تايلور أو لوران على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى المستوي المركب.

يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك الزوجية والفردية، والدورية والاستمرارية والتعامد ^[English]. التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل علم المساحة والملاحة ومجالات الفيزياء المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية التثليث التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في القياس البصري الثلاثي الأبعاد ^[English]؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه القبلة بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي البصريات، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة انكسار الضوء. الدوال المثلثية دوال دوريَّةٌ، أي أنها تُكرر قيمتها بعد مجال محدد؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في صناعة الطاقة الكهربائية والاتصالات، ويشمل هذا تطبيق دراسة التيارات المتناوبة والتضمين التي تعتمد على موجات جيبية.

تعريف الدوال

يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).

التسمية العربية^{[عر 2]}^{[عر 7]}^{[عر 8]}	التسمية الإنجليزية^{[عر 9]}	التسمية الفرنسية^{[عر 9]}	التدوين بالحروف العربية^{[عر 10]}^{[عر 11]}	التدوين بالحروف اللاتينية ^{[عر 2]}^[2]	المُنطلق^{[ملاحظة 1]}^{[وب 1]}	المستقر^{[وب 1]}
الجَيْب، الجَيْب المستوي	Sine	Sinus	جا، جب	sin	جميع الأعداد الحقيقية (أ.ح.)	[-1، 1]
جَيْب التَمَام	Cosine	Cosinus	جتا، تجب	cos	أ.ح.	[-1، 1]
الظِل، الظل الأول، الظل القائم أو المنتصب أو المعكوس	Tangent	Tangente	ظا، ظل	tan	أ.ح. ما عدا π/2 +kπ	أ.ح.
ظِل التمام، الظل الثاني أو المبسوط أو المستوي	Cotangent	Cotangente	ظتا، تظل	cot ^{[ملاحظة 2]}	أ.ح. ما عدا kπ	أ.ح.
القاطع، قطر الظل الأول	Secant	Sécante	قا	sec	أ.ح. ما عدا π/2 +kπ	]-∞ , 1] ∪ [1 , +∞[
قاطع التمام، قطر الظل الثاني	Cosecant	Cosécante	قتا، تقا	csc ^{[ملاحظة 3]}	أ.ح. ما عدا kπ	]-∞ , 1] ∪ [1 , +∞[

أصل تسمية الدوال

(1.أ) رسم توضيحي لسبب تسمية دالة الجيب بهذا الإسم

استُمِدّت الكلمة الإنجليزية من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني «انحناء، خليج»، وأيضاً «طَوْق الثَوْب: الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة»، واختيرت على أنها ترجمة للكلمة العربية الأصيلة «جَيْب» -التي تعني "طوق القميص"- في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى.⁽¹⁰¹⁾ كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية «جَيْب» التي هي تحريف للكلمة جِيبَا التي نشأت في حد ذاتها من الكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها ज्या / jyā إلى «وتر قوس المحارب»؛^[3]^[4] حيث استُعمل مصطلح «جَيْب» في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر، وهو يمثل نصف وتر ضعف القوس؛^{[عر 12]} أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في دائرة الوحدة. في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:^{[عر 13]}

«إن هذه الصناعة إذا أريد إخراجها إلى الفعل بمزاولة الحساب فيها فالأعداد مفتقرة إلى معرفة أوتار قسي الدوائر، فلذلك سمى أهلها كتبها العلمية زيجات من الزيق الذي هو بالفارسية زه، أعني الوتر، وسموا أنصاف الأوتار جيوباً، وإن كان اسم الوتر بالهندية جِيبَا ونصفه جِيبَارد، ولكن الهند إذا لم يستعملوا غير أنصاف الأوتار أوقعوا اسم الكل على النصف تخفيفاً في اللفظ»

أما الاسم العربي لدالة الـ«ظل»، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل المقياس على سطح أفقي في أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فيقال أن طول الظل يساوي عدة مرات طول المقياس،^{[عر 14]}^[3] عند تمثيل الرياضيين المسلمين للدالة على دائرة وحدة اعتمد نصف قطرها مقياسًا، كانت النتيجة خطاً مستقيماً يمُس الدائرة،^{[عر 14]} لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم توماس فينك) على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني «يمُس».^[5]^[6]

وفقتً لطريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (تسمية دالة القاطع في عصر الحضارة الإسلامية) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أطلق الغربيون عليه اسم «secant»؛^[6] استمدت هذه الكلمة من اللاتينية "secans" التي تعني «يَقْطَع».^[7]

أما عن بادئة -co الموجودة في (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لعبارة sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى «جيب الزاوية المتممة لزاوية»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛^[8] أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛^[3] التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب القوس المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس»^{[عر 15]} أو «نهاية» أو «طَرَف» عموماً، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر آنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.^[3]^[9]

التاريخ

العصر القديم

عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في بلاد الرافدين.

استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (قرابة 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.^[10]^[11]

تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات. أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم «أبي حساب المثلثات». وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية.^[12] في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.

الهنود

كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب «سوريا سِدْهانْتا»، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية «سِدْهانْتا» أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية.^[12] يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" التي استخدمها الهنود في علم الفلك في الحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية.^[12]

كان بهاسكارا الثاني، الذي عاش في القرن الثاني عشر، من أوائل الذين حسبوا جيب مجموع زاويتين (sin (a+b)) أو طرحهما (sin (a-b))، كما يأتي:^[3]

sin (a+b) = cos(a).sin(b) + sin(a).cos(b)

خطا مادهافا السانغماغرامي، قرابة العام 1400، خطوات أولى ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية، ويُعتقد أنه وضع متسلسلات مادهافا، التي سميت باسمه، قبل قرنين من وضعها في أوروبا.^{[وب 2]}

عصر الحضارة الإسلامية

أبو الريحان البيروني (973-1048 م)، استخدم حساب المثلثات لقياس نصف قطر الأرض ومحيطها.

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات.^[14] باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الهنود،^{[ملاحظة 4]} اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام؛ حيث تنسب أقدم الأعمال المتبقية إلى الخوارزمي وحبش الحاسب اللذين اعتبرا الدوال الأربعة الأخيرة.^[3]

في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام وأول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من زيج السندهند (تتضمن جدولاً للجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية.في القرن نفسه، قام حبش الحاسب بإنتاج أول جدول لظل التمام.⁽¹⁰³⁾^[15]

في البداية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة. حيث اعتبرت ظل التمام، التي كانت تسمى «الظل المستوي» أنذاك، طول خيال المقياس العمودي ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) أصابع؛ بينما اعتبرت دالة الظل، التي كانت تسمى «الظل المعكوس»، طول خيال المقياس الأفقي؛ في الأصل، استُخدمت هذه المفاهيم للحساب بالمزولة.^{[عر 16]} كان يسمى وترا المثلث القائم (القطعة AO في الصورة المرفقة) «قطر الظل الأول» (في الحالة الثانية) و«قطر الظل الثاني» (في الحالة الأولى) اللذان يطلق عليهما الآن القاطع وقاطع التمام، على التوالي. في القرن العاشر ميلادي، قدم الفيلسوف وعالم الرياضيات الفارابي، في كتابه «شرح كتاب المجسطي»، تعريفات هذه الدوال الأربع بشكل مستقل عن المزولات، وقام بتعريفها مع الجيب وجيب التمام في الدائرة المثلثية البطلمية التي طول نصف قطرها 60 (نصف القطر معبر عنه بالنظام الستيني). وضع محمد بن جابر البتاني العلاقات الأساسية بين الدوال الست في القرن نفسه. وحَّد أبو الوفاء البوزجاني في النصف الثاني من القرن العاشر التوحيد الأخير واستعمل للمرة الأولى دائرة الوحدة لتعريف الدوال المثلثية، كما هو الحال في الرياضيات الحديثة.

اكتشف محمد بن جابر البتاني قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.^{[عر 17]} واكتشف أبو الوفاء البوزجاني في القرن العاشر تلك المتطابقات المثلثية في شكلها الحالي، وقد عبَّر الرياضياتيون اليونانيون عنها بدلالة الأوتار:^[15]

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(2a) = 1 - sin²(a)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

ويقال عنه أنه أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات الكروية، ولكن اختلف المؤرخون حول أول من وضع قانون الجيب للمثلثات الكروية، حيث نُسب هذا القانون إلى كل من: أبو الوفاء البوزجاني وأبو محمود الخجندي ونصير الدين الطوسي ومنصور بن عراق؛^[15]

طُوِّرت طريقة التثليث لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية،^[16] كما وصفها أبو الريحان البيروني في كتابه القانون المسعودي في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة.^{[وب 3]} حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة في نهاية القرن الحادي عشر عن طريق الحلول العددية التقريبية التي حصل عليها عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، اعتبر نصير الدين الطوسي لأول مرة حساب المثلثات تخصّصًا منفصلاً عن علم الفلك،^[17] وذكر في كتابه «شكل القطاع» قانوني الجيب أحدهما للمثلثات المستوية والآخر للمثلثات الكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، ولم يتفق المؤرخون حول أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات المستوية، حيث ينسب هذا القانون إلى كل من أبو الوفاء البوزجاني ومنصور بن عراق (تلميذه) ونصير الدين الطوسي.

في القرن الخامس عشر، قام غياث الدين الكاشي بالتعبير عن مبرهنة فيثاغورس المعممة، التي أصبحت تطلق عليها الآن «قانون جيب التمام»، بدلالة جيب التمام بعدما أنشئت جداول لها التي أتاحت له صياغة المبرهنة، والبرهنة عليها في كتابه مفتاح الحساب؛ لذلك، أطلق الفرنسيون على هذا القانون اسم «مبرهنة الكاشي» (بالفرنسية: Théorème d'Al-Kashi)‏ تكريما له؛^[18] وقدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث؛^[18]^[19] مع العلم أن هذه المبرهنة تم التعبير عنها سابقًا من قبل العالم اليوناني إقليدس في كتابه الأصول، ولكن عدم وجود الدوال المثلثية آنذاك وكذلك الجبر أدى إلى استعمال مجموع وفرق المساحات.^[18] صاغ الكاشي أيضًا المتطابقة التالية: sin(3Φ) = 3 sin(Φ) - 4sin³(Φ) واستخدمها لحساب جيب الزاوية 1° بوضع Φ = 1° وx = sin (1°) ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة المتحصل عليها، ووصل إلى 16 منزلة عشرية؛ هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ«صيغة فييت» ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من اكتشف تلك الصيغة.^[20] وضع الرياضياتي وحاكم الدولة التيمورية ألغ بك، جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت تقريبًا.

الصينيون

لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كوا وغوا شوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كوا علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c:^[21] $s = c + \frac{2 v^{2}}{d}$

النهضة الأوروبية وما بعدها

كانت أطروحات العالم ريغيومونتانوس وتعليقاته، خاصةً كتابه المعنون كل شيء عن المثلثات (باللاتينية: De triangulis omnimodis) في 1464) على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا.^[12] علّق في كتابه عن المثلثات:^[17]

«أنت من تريد دراسة أشياء كبيرةً وعجيبةً، ومن تتعجب من حركة النجوم، عليك أن تدرس هذه المبرهنات حول المثلثات. معرفتك لهذه الأفكار ستفتح لك الباب لعلم الفلك كله ولبعض المعضلات الهندسية.»

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبير جيرار (1595 – 1632 م) الاختصارات sin، وcos، وtan للمرة الأولى في كتابه حساب المثلثات (بالفرنسية: Trigonométrie)‏.^{[وب 4]}

ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لغيورغ يواخيم ريتيكوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.

استعمل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك مصطلحي "Tangent" و"Secant" للمرة الأولى في كتابه المعنون الهندسة الدائرية (باللاتينية: Geometria rotundi).^{[وب 5]}

برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب (sin(x ليست دالة جبرية تتبع x، أي أنها دالة متسامية في مقال نُشر عام 1682م.

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).^[12]

في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي فينتشنزو ريكاتي الدوال الزائدية، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.^[22]

الدوال المثلثية التاريخية

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم «الجيب المعكوس»⁽¹⁰²⁾) وسهم التمام ونصف السهم،^[23] والقاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.

$\begin{matrix} c r d (θ) = 2 \sin (\frac{θ}{2}) \\ v e r s i n (θ) = 1 - \cos (θ) = 2 \sin^{2} (\frac{θ}{2}) \\ c o v e r s i n (θ) = 1 - \sin (θ) = v e r s i n (\frac{π}{2} - θ) \\ h a v e r s i n (θ) = \frac{1}{2} v e r s i n (θ) = \sin^{2} (\frac{θ}{2}) \\ e x s e c (θ) = \sec (θ) - 1 \\ e x c s c (θ) = e x s e c (\frac{π}{2} - θ) = \csc (θ) - 1 \end{matrix}$

وحدات قياس الزوايا

الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءاً متساوياً، يشار إليها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة عليا.

الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان. هناك وحدة مشتقة من الراديان وهي الميليراديان، تُعرَّف على أنها جزء من الألف من 1 راديان؛ تُستَخدَم الميليراديان في ضبط الرؤية عند استخدام السلاح الناري.^[24]

الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يشار إليها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير أعلى.^[25]

الدورة: تعادل 360° أو 2π راديان.

دقيقة القوس وثانيته: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الإحداثيات الجغرافية.

دقيقة القوس: تساوي 1/60 درجة أي 0.016°،^{[ملاحظة 5]} يشار إليها بقيمة متبوعة بفاصلة عليا (').
ثانية القوس: تساوي 1/3600 درجة أي 0.00027°،^{[ملاحظة 5]} يشار إليها بقيمة متبوعة بعلامتي التنصيص (").

وحدة	مقدار
درجة	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
راديان	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
غراد	0^g	100/3^g	50^g	200/3^g	100^g	200^g	300^g	400^g
دورة	0	1/12	1/8	1/6	1/4	1/2	3/4	1

راديان مقابل درجات

في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، وتقاس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.

لا يكون المتغير زاويةً عند حساب التفاضل والتكامل باستعمال الدوال المثلثية، ولكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية رأسها مركز الدائرة. لذلك، يُستخدم الراديان وحدةً للزاوية.^[26]

تكون الصيغ المستعملة عند حساب المشتقات والتكاملات أبسط عند استعمال الراديان، لذلك فهو المُستعمل عادةً اصطلاحاً، أي إذا وحدة الزاوية غير مُذكورة، فيُفترض أن تكون الراديان.

التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية

يوضح الشكل المقابل مثلثًا قائماً يتكون من ثلاثة أضلاع a و b و c وزوايا A و B و C. الزاوية C قياسها 90° وزاويتان أخريان حادتان ومتتامتان، بمعنى آخر، مجموع قياس الزاويتين يساوي 90° أو π/2 راديان.

يسمى الضلع المقابل للزاوية C الوتر (كما هو موضح في الشكل المقابل). عند اعتبار الزاوية A، يسمى الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة بالضلع المجاور للزاوية A (الضلع AC) والضلع المقابل للزاوية A (الضلع BC).

تعرف الدوال المثلثية الرئيسة للزاوية A كما يأتي:^{[عر 2]}^[27]

جيب الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر:

sin(A) = a/c

جيب تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى وتر المثلث، بتعبير آخر:

cos(A) = b/c

ظل الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور لها، أي:

tan(A) = a/b = (a/c) x (c/b) = (a/c)/(b/c) = sin(A)/cos(A)

وفقًا للتشابه الهندسي، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني أن الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.

بالنسبة للزاوية B، يمكننا أيضًا حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو أيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح. علاقة الجيب وجيب التمام بالزوايا المتتامة رياضيا هي كما يلي:^[27]

sin(A) = cos(B) = cos((π/2) - A) = cos(90° - A)

cos(A) = sin(B) = sin((π/2) - A) = sin(90° - A)

كلما ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع المقابل. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع المقابل يكون مطابقا للوتر (وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند حوالي 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، وبالتالي فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).

يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها مقاليب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:^[27]

ظل تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل، أي:

cot (A) = b/a = cos(A)/sin(A) = 1/tan(A)

قاطع الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المجاور، أي:

sec (A) = c/b = 1/cos(A)

قاطع تمام الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المقابل، أي:

csc (A) = c/a = 1/sin(A)

نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هو مذكور أعلاه في حالة الجيب وجيب التمام، أيضًا على الدوال المثلثية الأخرى:^[27]

tan(A) = cot(B) = cot((π/2) - A) = cot(90° - A)

cot(A) = tan(B) = tan((π/2) - A) = tan(90° - A)

sec(A) = csc(B) = csc((π/2) - A) = csc(90° - A)

csc(A) = sec(B) = sec((π/2) - A) = sec(90° - A)

ملخص العلاقات

تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:

sin (A) = المقابل/الوتر
cos (A) = المجاور/الوتر
tan (A) = المقابل/المجاور
cot (A) = المجاور/المقابل
sec (A) = الوتر/المجاور
csc (A) = الوتر/المقابل

التعريف باستعمال دائرة الوحدة

رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر AD الذي يصنع زاوية θ مع محور السينات^{[ملاحظة 6]} في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية: نحو sin وcos وtan وcsc وsec وcot فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل: cvs وexcsc وcrd وexsec وversin.

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. مع أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 وπ/2 راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ θ^{[ملاحظة 7]} دائرةَ الوحدةِ في النقطة A=(x,y) فإنّ الدالةُ cos(θ) تُعرّف على أنها الإحداثي x والدالة sin(θ) هي الإحداثي y لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: (x, y) = (cos(θ), sin(θ)). وبرسم مماسٍ من النقطة (x, y) يقطعُ محورَي السينات والصادات في النقطتين E = (a,0), F=(0,b) على الترتيب، فإنَّ a = sec(θ), b = csc(θ).

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في المجال (0, π/2) باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة OA = r هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة P = (x₀,y₀) على دائرة الوحدة تُحقّق x² + y² = 1 من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم OCA، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات x, y يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: cos²θ+sin²θ=1. وأخيراً فإنَّ المسافات AF, AE تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: cot(θ) وtan(θ) على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة OAF وOAE وOEF للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:^{[وب 6]}

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}, \cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}, \sec θ = \frac{1}{\cos θ}, \csc θ = \frac{1}{\sin θ} .

بما أنَّ دوراناً بزاوية 2π± لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط F, A, E ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ 2π. وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دور 2π. بمعنى آخر، المساواةَ sinθ = sin(θ + 2kπ) وcosθ = cos(θ + 2kπ) محققة أياً كانت قيمة θ زومن أجل أي عدد صحيح k. ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدور الأساسي لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصيل ، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دور أساسي π.^{[عر 2]}

الدوران

يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:

انعكاس حول المحور الأفقي^{[عر 18]}	دوران بزاوية π/2	دوران بزاوية π	دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح)	انعكاس حول المحور العمودي
sin(-θ)= -sin (θ)	sin(θ + (π/2))= +cos (θ)	sin(θ + π) = -sin (θ)	sin(θ + 2kπ) = +sin (θ)	sin(π-θ)= sin(θ)
cos(-θ)= +cos (θ)	cos(θ + (π/2))= -sin (θ)	cos(θ + π) = -cos (θ)	cos(θ + 2kπ) = +cos (θ)	cos(π-θ)= -cos (θ)
tan(-θ)= -tan (θ)	tan(θ + (π/2))= -cot (θ)	tan(θ + π) = +tan (θ)	tan(θ + 2kπ) = +tan (θ)	tan(π-θ)= -tan (θ)
cot(-θ)= -cot (θ)	cot(θ + (π/2))= -tan (θ)	cot(θ + π) = +cot (θ)	cot(θ + 2kπ) = +cot (θ)	cot(π-θ)= -cot (θ)
sec(-θ)= +sec (θ)	sec(θ + (π/2))= -csc (θ)	sec(θ + π) = -sec (θ)	sec(θ + 2kπ) = +sec (θ)	sec(π-θ)= -sec (θ)
csc(-θ)= -csc (θ)	csc(θ + (π/2))= +sec (θ)	csc(θ + π) = -csc (θ)	csc(θ + 2kπ) = +csc (θ)	csc(π-θ)= csc (θ)

رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة
الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (متقطع)، القاطع (متقطع)، ظل التمام (متقطع).

القيم الجبرية

رسم توضيحي لكيفية حساب جيب زاوية مقدارها 30 درجة باستخدام مثلث متساوي الأضلاع.

بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أو الزوايا الشهيرة.

إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:

sin (0°) = cos (90°) =0

sin (90°) = cos (0°) =1

المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي 2√ مرة طول كل من الساقين، إذن:

sin (45°) = cos (45°) =(√2)/2 tan (45°) = cot (45°) = 1

باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:

sin (30°)= cos (60°) = 1/2

وبالمثل، يُحسب على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي 3/2√، نتيجة لذلك:

sin (60°)= cos (30°) = √3/2

توفر كتابة البسوط باستعمال جذور تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة مع مقام مساوٍ 2، طريقة سهلة لتذكر القيم.^[29]

تنص مبرهنة نيفن على أن القيم الكسرية الوحيدة للزاوية θ التي تتواجد في المجال بين [0° ,90°] والتي يكون جيبها عدداً كسريًا هي الزوايا ذات القيم 0 و30 و90 درجة.^[30] تمتد المبرهنة أيضًا إلى الدوال المثلثية الأخرى وإلى بعض من الزوايا.^[31] بالنسبة للقيم الكسرية لـ θ، فإن القيم الكسرية الوحيدة للجيب أو جيب التمام هي 0 و (1/2)± و 1±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للقاطع أو قاطع التمام هي 1± و 2±؛ والقيم الكسرية الوحيدة للظل أو ظل التمام هي 0 و1±.^[32]

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات كسرية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يُعبَّر عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، ويعني هذا إنشاء الزوايا ذات الصلة بقيم الجيب وجيب التمام باستعمال المسطرة والفرجار.

يمكن التعبير عن جيب زاوية عدد صحيح بالدرجات وجيب تمامها بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب^{[ملاحظة 8]} غير حقيقي.^{[وب 7]} تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد كسري، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.^{[وب 7]}

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، أُثبتت في عام 1966.^[33]

القيم الجبرية البسيطة

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية.^[34] يمثل الرمز ∞ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

حساب التفاضل والتكامل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

الاشتقاق والمكاملة

المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:^[35]

التعريف بواسطة التكامل

يمكن الحصول على تعريف آخر استناداً إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف الأعلى لدائرة الوحدة $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ، يمكن إيجاد العلاقة بين الزاوية θ وsinθ وفقًا للمعادلة التالية:^[36]

\int_{0}^{\sin θ} \sqrt{1 + {(\frac{d}{d x} \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}} d x = \int_{0}^{\sin θ} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = θ

وتنتمي الزاوية θ إلى المجال [0، π/2].

التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية

الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} \sin x & = \cos x, \\ \frac{d}{d x} \cos x & = - \sin x, \\ \sin 0 & = 0, \\ \cos 0 & = 1 . \end{array}

كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية: y = -y (معادلتها المميزة هي m²+1 = 0، جذرها هي وحدة تخيلية موجبة أو سالبة i±) بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

الجيب هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:^{[وب 8]}

{\begin{matrix} y (0) = 0 \\ [2 p t] y' (0) = 1 \end{matrix}

جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:^{[وب 8]}

{\begin{matrix} y (0) = 1 \\ [2 p t] y' (0) = 0 \end{matrix}

بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:

\frac{d}{d x} \tan x = 1 + \tan^{2} x .

إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:

y^{'} = 1 + y^{2}

نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية: $a y^{″} + b y^{'} + c y = 0$

إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل

y = A_{1} e^{m_{1} x} + A_{2} e^{m_{2} x}

، حيث $m_{1}$ و $m_{2}$ هما جذور المعادلة المميزة للمعادلة (

a m^{2} + b m + c = 0

). أيضا

A_{1}

و

A_{2}

هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور مركبة، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية المركبة:

y = A_{1} . e^{(α + i β) x} + A_{2} . e^{(α - i β) x}

حيث α هو الجزء الحقيقي وβ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية المركبة إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور المركبة، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:

y = A_{1} . e^{α x} \cos β x + A_{2} . e^{α x} \sin β x

باستعمال المتسلسلات

دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.

دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:^[37]

f (x) = f (a) + \frac{f^{'} (a)}{1!} (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} (x - a)^{2} + \frac{f^{‴} (a)}{3!} (x - a)^{3} + \dots

حيث تشير !n إلى عاملي عدد.

عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:^[37]

f (x) = f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{(3)} (0)}{3!} x^{3} + \dots

ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام

جيب الزاوية:^[38]

يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

\begin{array}{r} \sin x & = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots \\ [8 p t] & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}, \\ [8 p t] \end{array}

جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

\begin{array}{r} \cos x & = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} . \end{array}

نصف قطر التقارب^{[ملاحظة 9]} لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوالتي صحيحتين، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم مركبة وتامة التشكل على مجمل المستوي المركب.^[39]

متسلسلات القوى لباقي الدوال

الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين π/2- وπ/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 وπ وبين π- و0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة متسلسلة لوران، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود المرفوعة لِأُس سالب).

بتعبير أدق،U_n هو تبديل متناوب من المرتبة n. وB_n هو عدد بيرنولي من المرتبة n، وE_n، هو عدد أويلر من المرتبة n.

تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى دوال جزئية التشكل، والتي هي دوال تامة التشكل في كامل المستوي المركب، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.^{[وب 9]}

يمكن أيضًا حساب علاقات الاستدعاء الذاتي لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافيقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستخدم عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من المرتبة n لمتسلسلة بواسطة:

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} (x - a)^{n + 1}, a < c < x

مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.

لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى (0,n/4)، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى (0, n/2). بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.

متسلسلات أخرى

يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا، وفيه تُجمَع دوال المقلوب المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلأرابيكا:^[40]

π \cot (π x) = lim_{N \to \infty} \sum_{n = - N}^{N} \frac{1}{x + n} = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 x}{x^{2} - n^{2}} .

يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة حيلة هيرغلوتس ^[English].^[41]

ويمكن بالطريقة نفسها إيجاد المفكوكات الكسرية الجزئية لكل من القاطع وقاطع التمام والظل:

الكسور المستمرة المعممة

الكسور المستمرة المعممة هي تعميم للكسور المستمرة الاعتيادية في المجالين الحقيقي والمركب.

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:^[42]

في ما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

متسلسلة الجداء اللانهائي

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل المركب:^[43]

$\sin z = z \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{z^{2}}{n^{2} π^{2}}), z \in C .$

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:^[43]

$\cos z = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{z^{2}}{{(n - \frac{1}{2})}^{2} π^{2}}), z \in C .$

باستخدام المعادلات الدالية

يمكن أيضاً تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.

مثلاً،الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:

cos(x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y

بشرط أن تكون 0 < x > sin(x) > x.cos(x) من أجل 0 < x > 1.

في المستوى المركب

يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد مركب باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع الدوال الزائدية:

من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم المركبة بيانياً عن طريق التمثيل بتلوين المجال. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال المركبة من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية توضح العلاقات بينهما.^{[وب 10]}

عند تمثيل الدوال في المستوى المركب، تُمثَّل العمدة بالألوان، والمعيار بوسائل أخرى، مثل السطوع أو الإشباع اللوني.

sin z
cos z
tan z
cot z
sec z
csc z
التمثيل البياني للعدد المركب z = x + iy الذي استخدم في التمثيلات البيانية.

الخصائص

زوجية وفردية

الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطاً محدداً يتعلق بالتناظر.

جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي فردية، أي:

دورية

الدوال المثلثية كلها دوالٌ دوريةٌ أصغر دور لها هو 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دور لها هو π، أي، من أجل عدد صحيح k، يكون:

تستخدم خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية في تحويل فورييه والمعادلات الموجية.

استمرارية (اتصال)

الجيب وجيب التمام دالتان مستمرتان دومٌا ويمكن اشتقاقهما ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف باستعمال المثلث القائم وباستعمال دائرة الوحدة. إن الدوال الأخرى، التي مقامها =دالتا الجيب أو جيب التمام، ليست دائمًا مستمرة، لأن قيمة كل من دالة الجيب وجيب التمام في بعض من الحالات تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هو عدد صحيح كيفي):

الظل والقاطع: kπ + {π/2}
ظل التمام وقاطع التمام: kπ

تعامد

تكون دالتا الجيب وجيب التمام متعامدتين ^[English]، أي:

تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.^[44]

تحويلا لابلاس وفورييه

تحويل لابلاس هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:^{[ملاحظة 10]}

تحويل الجيب:

L {\sin (a t)} = \frac{a}{s^{2} + a^{2}}

تحويل جيب التمام:

L {\cos (a t)} = \frac{s}{s^{2} + a^{2}}

تحويلا فورييه لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:^{[ملاحظة 11]}

الجيب:

F {\sin (a t)} = \frac{δ (ω - \frac{a}{2 π}) - δ (ω + \frac{a}{2 π})}{2 i}

جيب التمام:

F {\cos (a t)} = \frac{δ (ω - \frac{a}{2 π}) + δ (ω + \frac{a}{2 π})}{2}

دالة ذاتية

دالتا الجيب وجيب التمام ذاتيتان لمؤثر لابلاس. على سبيل المثال، إذا كان : Δ=∇² يُمثِّل مؤثر لابلاس وحيد البعد، فإن دالتا الجيب وجيب التمام تحققان : $\nabla^{2} f = λ f$ ، مع λ تمثل قيمة ذاتية؛ ويمكن التحقق من هذه المساواة انطلاقا من التعريف باستعمال المعادلة التفاضلية للدالتين.^[45]

حساب القيم

حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر صعب ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على القيم الجبرية الدقيقة لدوالِّها المثلثية دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. على سبيل المثال، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد 3 دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب الخماسي المنتظم.

يلزم لحساب قيمة دالة مثلثية لأي زاوية تقليص مجال الزاوية، مثلاً من الصفر إلى π/2، باستخدام خاصيتي الدورية والتناظر للدوال المثلثية.

حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.

تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالِجات الراقية ذات وحدات الفاصلة العائمة، في جمع بين تقريب بواسطة كثير الحدود أو بواسطة الدوال الكسرية (مثل تقريب تشيبيشيف، تقريب بادي، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، متسلسلات تايلور ومتسلسلة لوران) وتقليص المدى والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التصحيح.^[46]^[47] على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى مضاعف العتاد، توجد خوارزمية تسمى CORDIC عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.^{[عر 19]}

يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة المتوسط الحسابي الهندسي عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة تكامل إهليلجي (مركب).^[48]

متطابقات أساسية ومبرهنات

هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع قائمة المتطابقات المثلثية. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات حساب التفاضل والتكامل، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم المركبة واستخدام خصائص الدالة الأسية.

متطابقة فيثاغورس

تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما ومربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:

:sin² x + cos² x = 1

يجب الانتباه إلى أن التدوين sin² x + cos² x يكافئ sin x)² + (cos x)²).

متطابقات مجموع وفرق زاويتين

تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها.

المجموع

ويُحسب كما يأتي:

الفرق

ويُحسب كما يأتي:

متطابقات ضعف الزاوية

عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.

يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء.

بوضع θ = 2x وt = tan(x) هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ θ كدالة كسرية لـ $t = \tan \frac{θ}{2}$

$\begin{array}{r} \sin θ & = \frac{2 t}{1 + t^{2}}, \\ \cos θ & = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \\ \tan θ & = \frac{2 t}{1 - t^{2}} . \end{array}$

بالإضافة إلى $d θ = \frac{2}{1 + t^{2}} d t$

هذا هو تعويض ظل نصف الزاوية، ويسمى أيضاً تعويض فايرشتراس، وهو يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.^{[وب 11]}

متطابقات ثلاثية الزاوية

ويُحسب كما يأتي:

متطابقات نصف الزاوية

وتُحسب كما يأتي:^[49]

قانون الجيب

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص قانون الجيب على ما يلي:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{2 Δ}{a b c}

حيث تشير Δ إلى مساحة المثلث، أو بشكل مكافئ:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

حيث يشير

R

إلى نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:^[15]

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}

حيث a و b و c هي أقواس المثلث الواقع في سطح الكرة (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا جوانب المثلث الكروي)؛ و A و B و C هي الزوايا المقابلة.^{[ملاحظة 12]}

قانون جيب التمام

قانون جيب التمام هو تعميم لمبرهنة فيثاغورس على أنواع المثلثات المستوية كلها، ويسمى أيضا مبرهنة الكاشي.^[19]

c²= a² + ²-2ab.cos(C)

وقد تكتب هذه الصيغة كما يلي:

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

مع C هي الزاوية المقابلة للضلع c.

يمكن إثبات هذه المبرهنة بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام مبرهنة فيثاغورس، أو باستخدام طريقة الكاشي.

يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن أيضًا استخدامه لإيجاد جيب تمام لأي زاوية إذا كانت أطوال كل الأضلاع معلومة.

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:^[50]

cos(c) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b).cos(C)

مع a وb وc هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية المقابلة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول بعد ذلك إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي محيط الكرة/360} ما يعادل ط × نصف قطر الكرة/180 والرمز ط هنا أو π في اللاتينية؛ والزاوية C هي الزاوية المقابلة للقوس c

ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية C المقابلة للقوس c في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث a وb وc معلومة:

$\cos C = \frac{\cos c - \cos a \cos b}{\sin a \sin b}$

توجد صورة أخرى للمعادلة تكون قيم الزوايا الثلاثة فيها A وB وC معلومة وطول القوس مجهولٌ في المثلث الكُرويّ، وليكن القوس c، كما يلي:

$\cos c = \frac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B}$

ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس المقابل لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:

cos(C) = sin(A).sin(B).cos(c) - cos(A).cos(B)

قانون الظل

ليكن ABC مثلث، يُكتب قانون الظل كما يلي:^[51]

مع A وB وC الزوايا المقابلة للأضلاع a وb وc على الترتيب.

يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.

أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:^[52]

قانون ظل التمام

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:

r = \sqrt{\frac{1}{s} (s - a) (s - b) (s - c)}

(نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث)

و

s = \frac{a + b + c}{2}

(نصف محيط المثلث)،

ثم كل ما يلي يشكل قانون ظل التمام:^[51]

\cot \frac{A}{2} = \frac{s - a}{r}; \cot \frac{B}{2} = \frac{s - b}{r}; \cot \frac{C}{2} = \frac{s - c}{r} .

نستنتج أن:

\frac{\cot \frac{A}{2}}{s - a} = \frac{\cot \frac{B}{2}}{s - b} = \frac{\cot \frac{C}{2}}{s - c} = \frac{1}{r} .

مبرهنة الساندويتش

تساعد هذه المبرهنة في حساب النهايات الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ ، هي كما يلي:

\cos θ < \frac{\sin θ}{θ} < 1

تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية:^[53] $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ . تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية، طالع تفاضل الدوال المثلثية.

المتباينات المشابهة هي كما يلي:^[54]

مبرهنة بطليموس

مبرهنة بطليموس هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا الرباعي الدائري (رباعي محاط بدائرة تشمل جميع رؤوسه).

ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان θ₁+θ₂+θ₃+θ₄=180°، فإن:^[55]

\begin{array}{r} \sin (θ_{1} + θ_{2}) \sin (θ_{2} + θ_{3}) & = \sin (θ_{2} + θ_{3}) \sin (θ_{3} + θ_{4}) & (trivial) \\ = \sin (θ_{3} + θ_{4}) \sin (θ_{4} + θ_{1}) & (trivial) \\ = \sin (θ_{4} + θ_{1}) \sin (θ_{1} + θ_{2}) & (trivial) \\ = \sin θ_{1} \sin θ_{3} + \sin θ_{2} \sin θ_{4} . & (significant) \end{array}

صيغة مولفيده

لتكن a و b و c أطوال أضلاع للمثلث، و α و β و γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:^[56]

قانون موري

ينص هذا القانون الرياضي على أن جداء جيوب التمام لكل من 20° و40° و80° يساوي 1/8، بتعبير رياضي:

cos(20°).cos(40°).cos(80°) = 1/8

وهي حالة خاصة للمتطابقة العامة:

2^{n} \cdot \prod_{k = 0}^{n - 1} \cos (2^{k} α) = \frac{\sin (2^{n} α)}{\sin (α)}

مع n=3 وα=20°.

هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n و α للحد الثاني بتلك القيم، تكون النتيجة:

\frac{\sin (16 0^{\circ})}{\sin (2 0^{\circ})} = \frac{\sin (18 0^{\circ} - 2 0^{\circ})}{\sin (2 0^{\circ})} = 1,

بما أن:

sin(180°-x) = sin(x)

توجد متطابقة مشابهة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:

sin(20°).sin(40°).sin(80°) = √3/8

زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:^[57]

tan(20°).tan(40°).tan(80°) = √3 = tan(60°)

الدوال العكسية

الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست متباينة، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. ومع ذلك، في كل مجال تكون فيه الدالة المثلثية رتيبة، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية كدوال متعددة القيم. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم «مجموعة القيم الرئيسية» في الجدول التالي. عادة ما يشار إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم الدالة أو اختصارها.

يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع إبراز المنطلقات والمستقرات والمشتقات.^{[عر 20]}

غالبًا ما تستخدم التدوينات sin⁻¹ وcos⁻¹... إلخ للتعبير عن arcsin وarccos ،... وهكذا. عند استخدام هذا التدوين، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين الدوال العكسية والمعاكيس الضربية.

يمنع التدوين بالبادئة "arc" مثل هذا الالتباس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و لـ "arcsecond"(التي تعني «ثانية القوس»).

يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

\arcsin z = z + (\frac{1}{2}) \frac{z^{3}}{3} + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}) \frac{z^{5}}{5} + (\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}) \frac{z^{7}}{7} + \dots .

يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة اللوغاريتمات المركبة.^{[وب 12]}

الدوال الزائدية

الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos(t), sin(t)) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh(t), sinh(t)) النصف الأيمن للقطع الزائد.

الدوال الزائدية هي:

يعتمد كلا النوعين على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.

بما أن مساحة القطاع الدائري الذي نصف قطره r وزاويته u هي $\frac{1}{2} r^{2} u$ ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون r=√2. في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتقالي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.

سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما عبارة عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.

في حالة القطع الزائد الذي معادلته x² - y² =1، مقدار الزاوية الزائدية هو ضعف المساحة الزرقاء المحددة بنصف المستقيم ومحور السينات والقطع الزائد، تماما كما يكون مقدار الزاوية الدائرية هو ضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها: x² + y² =1.

في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:

هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام الأعداد المركبة تُعْرَف بالدالة الغودرمانية، وهي معرّفة في ℝ نحو $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ بـ:^[58]^[59]^{[وب 13]}

\begin{array}{r} g d x \int_{0}^{x} s e c h t d t = \arcsin (\tanh x) = \arctan (\sinh x) = a r c c s c (\coth x) \\ [6 p t] s g n (x) \arccos (s e c h x) = s g n (x) a r c s e c (\cosh x) \\ [6 p t] 2 \arctan (\tanh \frac{x}{2}) \\ [6 p t] \end{array}

وsgn (x) هي دالة الإشارة.

(4.ب) الدائرة والقطع الزائد متلامسان عند النقطة (1,1) تعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مقدار الزاوية u، والدوال الزائدية اعتمادًا على مقدار الزاوية u.
(4.ج)
(4.د)

علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة

يمكن كتابة بعض الدوال الخاصة بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.

دالة بيسل من المرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

x^{2} y^{″} + x y^{'} + (x^{2} - a^{2}) y = 0

حيث يمثل a المرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) بدلالة الدوال المثلثية على النحو التالي:^[60]

J_{1 / 2} = \sqrt{\frac{2}{π x}} \sin x

J_{- 1 / 2} = \sqrt{\frac{2}{π x}} \cos x

متعدد الحدود لتشيبيشيف: هو الحل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

(1 - x^{2}) y^{″} - x y^{'} + n^{2} y = 0

مع n ممثلةً للمرتبة.

يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من المرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:^[61]

T_n = cos(n.arccos(x))

تطبيقات

حساب المتجهات

تُستخدم المتجهات (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل كمية متجهة في الرياضيات والفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب الضرب النقطي لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:

\vec{x} \cdot \vec{y} = \cos (∠ (\vec{x}, \vec{y})) \cdot ∥ \vec{x} ∥ \cdot ∥ \vec{y} ∥

يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:

∥ \vec{x} \times \vec{y} ∥ = \sin (∠ (\vec{x}, \vec{y})) \cdot ∥ \vec{x} ∥ \cdot ∥ \vec{y} ∥

الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية

(5.أ) تمثيل نقطتين في نظام الإحداثيات القطبية

الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:

x = r cos(θ), y = r sin(θ)

تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أو كروي.

المساحات

مثلث: هناك قانون يعبر عن مساحة المثلث بدلالة أضلاعه a وb والزاوية المحصورة بينهم θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه:^{[عر 21]}

(S = (1/2).ab.sin(θ

متوازي أضلاع: يمكن ايجاد مساحته من خلال معرفة أطوال أضلاعه a وb وإحدى زواياه θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه بتطبيق هذا القانون:^{[وب 14]}

(S = ab.sin(θ

مضلع منتظم: يمكن ايجاد مساحته من خلال تلك الصيغ:^[62]

\frac{1}{4} n l^{2} \cdot \cot (π / n) = \frac{1}{4 n} p^{2} \cdot \cot (π / n)

مع n عدد الأضلاع وl هو طول أحد الأضلاع وp هو محيط المضلع.

إذا كان المضلع محاط بدائرة نصف قطرها R ومحيط بدائرة نصف قطرها r (يُغدُّ أيضًا عامد المضلع):

\frac{1}{2} n R^{2} \cdot \sin (2 π / n) = n r^{2} \tan (π / n)

المحيطات

مضلع منتظم: يمكن إيجاد محيطه بدلالة عدد أضلاعه n والمسافة بين مركز المضلع وأحد رؤوسه b ودالة الجيب:^[63]

2nb.sin(π/2)

قطع ناقص: يمكن إيجاد محيطه إنطلاقًا من نصف محوره الأكبر a والأصغر b باستخدام إحدى الدوال المثلثية:^[64]

C = 4 a \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} \sin^{2} θ} d θ = 4 a E (e)

مع

e = \sqrt{1 - b^{2} / a^{2}}

هو معامل التباعد المركزي، وE هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني:

E (e) = \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} \sin^{2} θ} d θ

يتم الحصول على هذا القانون باستخدام صيغة حساب طول القوس والإحداثيات القطبية.^{[ملاحظة 14]}

الحجوم

متوازي السطوح: يمكن تعبير عن حجمه بدلالة جيب التمام:

V = a b c \sqrt{1 + 2 \cos (α) \cos (β) \cos (γ) - \cos^{2} (α) - \cos^{2} (β) - \cos^{2} (γ)}

مع $α = ∠ (\vec{b}, \vec{c}), β = ∠ (\vec{a}, \vec{c}), γ = ∠ (\vec{a}, \vec{b})$ وa,b,c هي أطوال الأحرف.

علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد المركبة

يمكن كتابة أي عدد مركب على الشكل المثلثي:

z = |z| (cosθ + isinθ) و|z| هو القيمة المطلقة للعدد المركب، وi هي وحدة تخيلية مربعها يساوي واحد.

يطلق على العلاقة بين الدالة الأسية والدوال المثلثية اسم صيغة أويلر:

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

إثبات:^[65] لتكن متسلسلة تايلور للدالة الأسية:

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots

بوضع: x=iθ، تصبح المتسلسلة:

e^{i θ} = 1 + i θ - \frac{θ^{2}}{2!} - \frac{i θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{4}}{4!} + \frac{i θ^{5}}{5!} - \dots

e^{i θ} = (1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \dots) + i (θ - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \dots)

من متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام:

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

فيُبصح:

$\begin{array}{r} e^{i θ} & = \cos θ + i \sin θ \\ [5 p t] e^{- i θ} & = \cos θ - i \sin θ . \end{array}$

قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}

\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}

يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية المركبة. رياضيا:

\cos θ = R e (e^{i θ})

\sin θ = I m (e^{i θ})

يعرف الشكل المعمم لصيغة أويلر باستعمال صيغة دي موافر:

e^{i n θ} = (\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos (n θ) + i \sin (n θ)

أيضًا، باستخدام تعريف بواسطة متسلسلة ماكلورين للدوال الزائدية والمثلثية، يمكن الحصول على العلاقات بين تلك الدوال:

\sin z = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} z^{2 n + 1} = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} = \frac{\sinh (i z)}{i}

\cos z = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} z^{2 n} = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} = \cosh (i z)

علم الفلك

استخدمت حساب المثلثات الكروية لعدة قرون لتحديد موقع الشمس والاقمار والنجوم، والتنبؤ بالكسوف والخسوف، ووصف مدارات الكواكب.

في العصر الحديث، تستخدم تقنية التثليث في علم الفلك لقياس مسافة النجوم القريبة، وكذلك في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية.^[66]

الخرائط والمساحة

حساب المثلثات هو أساس معظم ممارسات رسم الخرائط والمساحة. قياس زاوية باستخدام الجهاز أو دون استخدامه، إسقاط الخرائط (تحويل سطح ناقصي إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب الاتجاه الزاوي، والمسح الاجتيازي المفتوح والمغلق،^{[ملاحظة 15]} وتصميم الأقواس في إنشاء الطرقات، وتحويل ثنائي الأبعاد في المسح الجوي.

على سبيل المثال، في التثليث، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستخدم هذا المبدأ حاليًا في القياس البصري الثلاثي الأبعاد ^[English]. يُستخدَم في التثليث قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.

في الحالة المبينة في الشكل (5.ج)، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:

قياس ارتفاع جبل أو مبنى مرتفع، ليكن h، هو مثال آخر عن التثليث، وعندها تُحدد الزوايا α و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى (الشكل (5.د)). لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط، يحسب الارتفاع بتطبيق هذا القانون:

h = \frac{\sin α \sin β}{\sin (β - α)} ℓ = \frac{\tan α \tan β}{\tan β - \tan α} ℓ .

متسلسلة فورييه وتحويل فورييه

دالتا الجيب وجيب التمام مثل كثيرات الحدود المتعامدة مستقلةٌ خطياً. ومنهم يمكن كتابة أي دالة (دورية بشكل عام) على أنها العلاقة التالية بدلالة متسلسلة من تلك الدوال، والتي تسمى متسلسلة فورييه:

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)

بالنسبة للدوال الفردية، فقط حدود دالة الجيب، أما الدوال الزوجية، فقط حدود دالة جيب التمام زائد معامل ثابت.

تحويل فورييه هو نوع من التحويل التكاملي وهو عبارة عن امتداد لمتسلسلة فورييه. يُعرف هذا التحويل بـ:^{[وب 15]}

F (ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t

تُحوّل الدالة الأسية المركبة إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الموجة والتحليل الطيفي ومعالجة الإشارات.^[67]

يستخدم تحويل جيب التمام المتقطع القريب من تحويل فورييه لتقليل حجم ملف JPEG في أثناء التخزين مع الحفاظ على الجودة النسبية (ضغط الصور)، هذا التحويل هو تقنية تمثل البيانات على شكل مجاميع دوال جيب التمام.^[68]

الدوال الدورية

الدوال المثلثية مهمة أيضا في الفيزياء. على سبيل المثال، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بنابض (نواس مرن ^[English])، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، حركة كتلة معلقة بواسطة خيط (نواس بسيط)؛^[69] وفي الكهرباء والإلكترونيات، تستخدم الدالتان الأخيرتان لدراسة الدارات الكهربائية مثل دارة مقاومة وملف ومكثف المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة.^[70]

تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية.

يمكن عموماً التعبير عن دالة دورية f(x) بصفتها مجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في متسلسلات فورييه مثل موجة مربعة أو موجة سن المنشار.^[67]

نشير إلى الدالة التي تتضمن الجيب أو جيب التمام بـ $φ k$ ، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:

$f (t) = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} φ_{k} (t)$

حيث $c k$ هو معامل المتسلسلة.

على سبيل المثال، يمكن كتابة الموجة المربعية كمتسلسلة فورييه:

$f_{square} (t) = \frac{4}{π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin ((2 k - 1) t)}{2 k - 1} .$

في الصورة المتحركة لموجة مربعية (5.هـ)، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما.

المنحنيات الوسيطية

يمكن تمثيل بعض المنحنيات الخاصة باستخدام المعادلات الوسيطية وبدلالة الدوال المثلثية، بعض من الأمثلة على المنحنيات الخاصة هي كما يلي:

الدائرة: تعطى المعادلة الوسيطية للدائرة ذات المركز $(x_{0}, y_{0})$ ونصف القطر r بواسطة:

{\begin{matrix} x = r \cos (t) + x_{0} \\ y = r \sin (t) + y_{0} \end{matrix}

القطع الناقص: يُمثَّل القطع الناقص ذو المركز $(x_{0}, y_{0})$ ونصف المحور الكبير a ونصف المحور الصغير b كما يلي:

{\begin{matrix} x = a \cos (t) + x_{0} \\ y = b \sin (t) + y_{0} \end{matrix}

منحنى ليساجو: يُعبَّر عن منحنى ليساجو بواسطة:^{[وب 16]}

{\begin{matrix} x = a \sin (ω_{x} t + δ) \\ y = b \sin (ω_{y} t + γ) \end{matrix}

مع

ω_{x}

و

ω_{y}

هي عبارة عن ثوابت تصف عدد فصوص الشكل.

القطع الزائد، يمكن تمثيل وسيطيًا القطع الزائد الأفقي بواسطة:

{\begin{matrix} x = a \sec t + h \\ y = b \tan t + k \end{matrix}

أو

{\begin{matrix} x = \pm a \cosh t + h \\ y = b \sinh t + k \end{matrix}

ويمكن تمثيل القطع الزائد العمودي وسيطيًا كما يأتي:

{\begin{matrix} x = a \tan t + h \\ y = b \sec t + k \end{matrix}

أو

{\begin{matrix} x = a \sinh t + h \\ y = \pm b \cosh t + k \end{matrix}

مع (h , k) هي مركز القطع الزائد.

بالإضافة إلى تلك المنحنيات، يمكن أيضًا تمثيل عدة رسومات التي تعتمد على الدوال المثلثية، بما في ذلك المنحنى العجلي التحتي، اللولب، السطوح الوسيطية ^[English]،... وهكذا.

البصريات

التطبيق الأساسي للدوال المثلثية في علم البصريات هو قانون سنيل. ينص هذا القانون، الذي ينطبق على ظاهرة انكسار الضوء، على العلاقة بين زوايا السقوط والانكسار:

\frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

حيث:

θ₁: زاوية سقوط الموجة، θ₂: زاوية انكسار الموجة.
v₁: سرعة الضوء في الوسط الأول، v₂: سرعة الضوء في الوسط الثاني.
n₁: معامل الانكسار للوسط الأول، n₂: معامل الانكسار للوسط الثاني

بالإضافة إلى انكسار الضوء، تُستخدم الدوال المثلثية في مجالات أخرى من البصريات، مثل تحليل تداخل الموجات والاستقطاب والحيود.

الملاحة

تاريخيا، استخدمت حساب المثلثات لتحديد احداثيات خطوط الطول والعرض لسفن الإبحار، ورسم المسارات، وحساب المسافات في أثناء الملاحة.

لا يزال حساب المثلثات مستخدمًا في الملاحة من خلال وسائل مثل نظام التموضع العالمي (GPS) والذكاء الاصطناعي للمركبات الذاتية.^[29]

تُستخدم هذه المعادلة لتحديد المسافة بين نقطتين على الأرض:^{[ملاحظة 16]}

A B = R \arccos [\sin λ_{A} \sin λ_{B} + \cos λ_{A} \cos λ_{B} \cos (L_{A} - L_{B})]

مع:

λ_A وλ_B خطا عرض النقطتين المرغوبتين.
L_A وL_B خطا طول النقطتين المرغوبتين.
R هو نصف قطر الأرض.

يمكن إثبات ذلك من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.^[71]

الفيزياء الميكانيكية

في الفيزياء الميكانيكية، تُطبق الدوال المثلثية على معادلات الحركة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في دراسة حركة الأجسام. على سبيل المثال، عند تحليل الاختلافات الدورية في الحركيات والديناميكيات الدورانية، ومعادلات الزخم والزخم الزاوي، وظواهر التصادم، نستخدم فيها دوال مثلثية.

من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي دراسة ظاهرة حركة جسم مقذوف بزاوية α، وتكتب المعادلة الوسيطية لمسارها بدلالة الزمن t على النحو التالي:

x (t) = v_{0} . t \cos α

y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} . t \sin α

مع x وy إحداثيات موضع الجسم عند الثانية t والسرعة الإبتدائية هي v₀ وg هي قوة التسارع.

أيضا، تُحسب سرعة الجسمين V1 وV2 ومقدار الزاويتين θ وφ اللتين صنعهما الجسمان بعد التصادم المرن باستخدام الدوال المثلثية، بتطبيق قانون حفظ الزخم (في كلا المعادلتين، قبل تصادم جسمين (على اليسار) = بعد تصادم جسمين (على اليمين)):

$\to m_{1} v_{1} + 0 = m_{1} v'_{1} \cos θ + m_{2} v'_{2} \cos φ$ ثابت $P_{x} =$ : على المحور x

$\to 0 + 0 = m_{1} v'_{1} \sin θ - m_{2} v'_{2} \sin φ$ ثابت $P_{y} =$ : على المحور y

القبلة

القبلة هي وجهة المصلي عند الصلاة وهي عند المسلمين الكعبة المشرفة في مدينة مكة.

يتم تطبيق نموذج الدائرة العظمى لحساب القبلة باستخدام حساب المثلثات الكروية، وهو العلم الذي برع فيه العلماء المسلمين قديمًا واستقر العمل في تحديد القبلة عليه. في الشكل التالي، يشكل موقع المصلي O والكعبة Q والقطب الشمالي N مثلثًا على الكرة الأرضية. يُشار إلى القبلة بـ OQ، وهي اتجاه الدائرة العظمى التي تشمل النقطتين O و Q. يمكن أيضًا التعبير عن القبلة كالزاوية ∠NOQ (أو ∠q للقبلة بالنسبة للشمال، وتسمى أيضًا «إنحراف القبلة». يمكن حساب هذه الزاوية كدالة رياضية لخط عرض موقع المصلي Φ، وخط عرض الكعبة Φ_Q، والفرق بين خطي طول الموقعين المذكورين سابقًا ΔL،^[72] هذه الدالة مستمدة من قاعدة ظل التمام التي تنطبق على أي مثلث كروي ذات الزوايا A وB وC والجوانب a وb وc:

$\cos a \cos C = \cot b \sin a - \cot B \sin C$

بتطبيق هذه الصيغة على المثلث الكروي NOQ (بتعويض B = ∠q = ∠NOQ) وبتطبيق المتطابقات المثلثية، يكون:

$\cot q = \frac{\sin Φ \cos Δ L - \cos Φ \tan Φ_{Q}}{\sin Δ L}$ ، ومنه يكون:^[72]
$q = \cot^{- 1} \frac{\sin Φ \cos Δ L - \cos Φ \tan Φ_{Q}}{\sin Δ L}$

الهندسة الكهربائية والاتصالات

تستخدم التيارات المتناوبة في تزويد المنازل والمصانع بالطاقة الكهربائية، ويُعبَّر عنها بشكل موجة جيبية. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتناوب على التيار المستمر في الصناعة هو إمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام المحولات، وهذا يُقلل من الطاقة الضائعة عند النقل لمسافات طويلة ويجعلها ذات ربح عالٍ، بالإضافة لإمكانية عدم استعمال المبادلات في المولدات.

تولد محطات الكهرباء تيارات ثلاثية الطور في الغالب. يمكن وصف تغير التيار المتناوب بتلك المعادلات: $v = V_{m} \sin (ω t + θ_{v})$ و $i = I_{m} \sin (ω t + θ_{i})$ ^{[ملاحظة 17]} وبالتالي تُحسب وتُحدد علاقات مختلفة مثل القدرة اللحظية، القدرة الفعالة، القدرة غير الفعالة،^{[ملاحظة 18]} … إلخ، أو مفاهيم مثل تقدم الطور، وتأخر الطور وزاوية القدرة ومعامل القدرة، …، من خلال تحليل الدوال المثلثية.^{[وب 17]} الكهرباء التي تُغذى بها المنازل هي موجة جيبية ترددها غالباً ما يكون 50 أو 60 هرتز.

تُنمذج محددات خط نقل الطاقة الكهربائية باستعمال دوال زائدية.

في أنظمة الاتصالات، عادة ما تدعم كل قناة الاتصال نقل إشاراتٍ فقط في نطاق ترددي معين، ويتعذر إرسال الإشارة عبر القناة إذا كان ترددها خارج هذا النطاق. ولذلك، من أجل إرسال إشارة لها تردد خارج النطاق، عادة ما يتم تثبيتها على موجة أخرى لها تردد متوافق مع نطاق القناة، تُسمَّى هذه التقنية التضمين. في الإشارات التماثلية تكون الموجة الحاملة موجة جيبية. على سبيل المثال، في تضمين السعة، تُضرب الإشارة التي تحتوي على المعلومات في الموجة الحاملة للموجة الجيبية.^[73]

ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية

مَسرد المفردات وفق الترتيب الأبجدي الإنجليزي
A
إحداثي x/إحداثي سيني	Abscissa
قيمة مطلقة لعدد مركب	Absolute value of complex number
زاوية حادة	Acute angle
ضلع مجاور	Adjacent side
عدد جبري	Algebraic number
زاوية	Angle
متطابقات مجموع وفرق زاويتين	Angle sum and difference identities
مشتق عكسي	Antiderivative
تقريب	Approximation
قوس	Arc
مساحة	Area
عُمدة	Argument
متوسط حسابي هندسي	Arithmetic–geometric mean
B
عدد بيرنولي	Bernoulli number
دالة بيسل	Bessel function
دالة تقابلية	Bijective function
C
حساب التفاضل والتكامل	Calculus
معادلة مميزة	Characteristic equation
تقريب تشيبيشيف	Chebyshev approximation
متعدد الحدود لتشيبيشيف	Chebyshev polynomial
دالة الوتر	Chord
زاوية دائرية	Circular angle
حركة دائرية	Circular motion
قطاع دائري	Circular sector
محيط دائرة/قطع ناقص (منحنى مغلق بشكل عام)	Circumference
مضلع محيط	Circumscribed polygon
مستقر دالة	Codomain of a function
فرجار	Compass
زوايا متتامة	Complementary angles
تحليل مركب	Complex analysis
عدد مركب	Complex number
مستوي مركب	Complex plane
دالة مستمرة/دالة متصلة	Continuous function
إحداثيات	Coordinates
لازمة	Corollary
ضرب متجهي /جداء متجهي	Cross product
جذر تكعيبي	Cube root
سهم التمام	Coversine
رباعي دائري	Cyclic quadrilateral
إحداثيات أسطوانية	Cylindrical coordinates
D
صيغة دي موافر	De Moivre's formula
درجة	Degree
مقام	Denominator
مشتق	Derivative
قطر الدائرة	Diameter
فرق	Difference
تفاضل	Differential
معادلة تفاضلية	Differential equation
متطابقات ضعف الزاوية	Double-angle identities
مجال دالة	Domain of a function
ضرب نقطي/ضرب قياسي/جداء سلمي	Dot product
E
تباعد مركزي	Eccentricity
أحرف متعدد السطوح	Edges of a polyhedron
دالة ذاتية	Eigenfunction
قطع ناقص	Ellipse
تكامل إهليلجي/ناقصي	Elliptic integral
دالة صحيحة	Entire function
مثلث متساوي الأضلاع	Equilateral triangle
متطابقة أويلر	Euler's identity
عدد أويلر	Euler number
دوال زوجية وفردية	Even and odd functions
قاطع التمام الخارجي	Excosecant
قاطع خارجي	Exsecant
دالة أسية	Exponential function
F
عاملي عدد	Factorial of a number
وحدة الفاصلة العائمة	Floating Point Unit
متسلسلة فورييه	Fourier series
تحويل فورييه	Fourier transform
G
نظرية غالوا	Galois theory
كسر مستمر معمم	Generalized continued fraction
تشابه هندسي	Geometric similarity
تمثيل بياني لدالة	Graph of a function
H
متطابقات نصف الزاوية	Half-angle identities
نصف السهم	Haversine
لولب	Helix
المعالِجات الراقية	Higher-end Processors
دالة تامة التشكل	Holomorphic function
قطع زائد	Hyperbola
زاوية زائدية	Hyperbolic angle
دوال زائدية	Hyperbolic functions
قطاع زائدي	Hyperbolic sector
وتر المثلث	Hypotenuse
منحنى عجلي تحتي	Hypotrochoid
I
وحدة تخيلية	Imaginary unit
متباينة	Inequality
دالة متباينة	Injective function
مضلع محاط	Inscribed polygon
تكامل	Integral
عدد صحيح	Integer number
مجال/فترة	Interval
تقاطع مستقيمين	Intersection of two lines
متسلسلة الجداء اللانهائي	Infinite product expansion
دالة عكسية	Inverse function
نقطة معزولة	Isolated point
L
تحويل لابلاس	Laplace transform
مؤثر لابلاسي	Laplace operator / Laplacian
قانون جيب التمام	Law of cosines
قانون الجيب	Law of sines
ساق مثلث	Leg of a triangle
طول	Length
نهاية دالة	Limit of a function
مستقيم	Line
منحنى ليساجو	Lissajous curve
M
متسلسلة ماكلورين	Maclaurin series
مقدار	Magnitude
دالة جزئية التشكل	Meromorphic function
ميليراديان	Milliradian
تضمين	Modulation
صيغة مولفيده	Mollweide's formula
دالة رتيبة	Monotonic function
قانون موري	Morrie's law
دالة متعددة القيم	Multivalued function
N
مقابل عدد	Negative of a number
بسط	Numerator
جذر نوني	nth root
O
ضلع مقابل	Opposite side
إحداثي y/إحداثي صادي	Ordinate
نقطة الأصل	Origin
دوال متعامدة	Orthogonal functions
P
تقريب بادي	Padé approximant
متوازي السطوح	Parallelepiped
متوازي أضلاع	Parallelogram
معادلة وسيطية	Parametric equation
جسم / جسيم	Particle
حركة رقاصية/حركة بندولية	Pendular motion
محيط (مضلعات)	Perimeter
دور	Period
دالة دورية	Periodic function
دورية	Periodicity
طور	Phase
تقدم وتأخر الطور	Phase leading and lagging
إحداثيات قطبية	Polar coordinates
متسلسلة قوى	Power series / Power expansion
مبرهنة بطليموس	Ptolemy's theorem
متطابقة فيثاغورس	Pythagorean identity
مبرهنة فيثاغورس	Pythagorean theorem
Q
ربع الدائرة	Quadrant
قاعدة ناتج القسمة	Quotient rule
R
نسبة	Ratio
نصف القطر	Radius
نصف قطر التقارب	Radius of convergence
تقليص المدى	Range reduction
سرعة التقارب	Rate of convergence
دالة كسرية	Rational function
عدد كسري/نسبي/ناطق/جذري	Rational number
عدد حقيقي	Real number
علاقة استدعاء ذاتي	Recurrence relation
خماسي منتظم	Regular pentagon
باقي (متسلسلة)	Remainder term
زاوية قائمة	Right angle
مثلث قائم الزاوية	Right-angled triangle / Right triangle
جذر معادلة/جذر دالة	Root
دوران	Rotation
S
عمق القوس	Sagitta
نصف المحور الأكبر	Semi-major axis
نصف المحور الأصغر	Semi-minor axis
مجموعة القيم الرئيسة	Set of principal values
دالة الإشارة	Sign function
حركة توافقية بسيطة	Simple Harmonic Motion
موجة جيبية	Sine wave
قانون سنيل	Snell's law
حل المثلثات	Solution of triangles
زوايا خاصة	Special angles
دوال خاصة	Special functions
إحداثيات كروية	Spherical coordinates
مثلث كروي	Spherical triangle
حساب المثلثات الكروية	Spherical trigonometry
جذر تربيعي	Square root
موجة مربعية	Square wave
مبرهنة الساندويتش	Squeeze theorem / Sandwich theorem
مسطرة	Straightedge
طرح	Subtraction
مجموع	Sum
تناظر	Symmetry
T
مماس	Tangent
تعويض ظل نصف الزاوية	Tangent half-angle substitution
متسلسلة تايلور	Taylor series
حدود	Terms
مبرهنة طاليس	Thales theorem
عدد متسامي	Transcendental numbers
مسح اجتيازي	Traverse
تثليث	Triangulation
علم المثلثات/حساب المثلثات	Trigonometry
متطابقات ثلاثية الزاوية	Triple-angle identities
دورة (وحدة قياس الزوايا)	Turn
U
دائرة الوحدة	Unit circle
V
متجه	Vector
سهم/ جيب معكوس	Versine
W
تعويض فايرشتراس	Weierstrass substitution
X
محور السينات	x-axis
Y
محور الصادات	y-axis

انظر أيضًا

في كومنز صور وملفات عن: دوال مثلثية

هوامش وملاحظات

101. نسبت مصادر مختلفة الاستخدام الاول للمصطلح "sinus" إلى:^[1]^[4]

إما ترجمة أفلاطون تيبورتينوس في عام 1116 لأعمال البتاني الخاصة بعلم الفلك.
أو ترجمة جيراردو الكريموني لجبر الخوارزمي
أو ترجمة روبرت أوف تشستر سنة 1145 لجداول الخوارزمي
طالع: و
Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.

102. جاء في كشاف اصطلاحات الفنون والعلوم للتهانوي: "الجيب: بالفتح وسكون المثناة التحتانية في اللّغة گريبان كما في الصّراح. وعند المهندسين والمنجمين هو نصف وتر ضعف القوس. [...] وهذا الذي ذكر هو الجيب المستوي. وما وقع من القطر بين جيب القوس وطرف القوس هو الجيب المعكوس ويسمّى بسهم القوس أيضا."^{[عر 7]}

103. تنسب بعضٌ من المصادر الجدول الأول الموضوع للظل إلى حبش الحاسب^{[وب 18]}

^ k هي عدد صحيح كيفي.
^ أو تلك التدوينات: cotan, cotg ctg, ctn
^ أو هذا التدوين: cosec
^ كانت العلاقة المثلثية لدالة الظل معروفة عند الهنود، ولكن لم يعتبروها كميةً مثلثيةً مستقلة كدالة الجيب.
^ ^أ ^ب يعني الشريط الأفقي فوق الرقم أنه يتكرر إلى ما لا نهاية.
^ يسمى أيضًا محور الفواصل أو محور الأفاصيل
^ عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ θ > 0، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ θ < 0.
^ يسمى أيضا "عدد مركب"
^ نصف قطر التقارب لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة. وهو إما عدد حقيقي غير سالب وإما ∞.
^ حيث: a هو ثابت حقيقي. s هو عدد مركب.
^ مع: ω هي التردد الزاوي و(.)δ هي دالة ديراك وi هي وحدة تخيلية مربعها يساوي 1-.
^ أطوال الأضلاع تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس الدائرة العظمى في المركز بالراديان. لذلك، بالنسبة لكرة ذات نصف قطر R لا يساوي الواحد، يجب قسمة أطوال الأقواس على R قبل استخدام المتطابقة.
^ a=CB، و b=CA، و c=AB
^ تحسب القيمة فقط باستعمال الحاسبة أو باستعمال الحاسوب لأن التكاملات الإهليلجية لا يمكن التعبير عنها باستخدام الدوال الابتدائية مثل الدوال الجبرية والمثلثية والأسية واللوغاريتمية.
^ المسح الاجتيازي هو طريقة لمسح منطقة مفتوحة أو مغلقة باستخدام قياس الزوايا والمسافات.
^ يجب تحويل الإحداثيات إلى الراديان في الحساب.
^
حيث:
- i هي دالة التيار الكهربائي
- v هي دالة الجهد الكهربائي
- V_m وI_m هما سِعَتا دالتي الجهد والتيار الكهربائيين على الترتيب.
- ω هو التردد الزاوي.
- θ هو الطور الابتدائي.
^ تسمى القدرة أيضًا الاستطاعة

مراجع

فهرس المراجع

المنشورات: بالعربية

^ مكتب التنسيق (1990)، ص. 153.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث ^ج موير (2004)، ص. 22.
^ القوصي (2013)، ص. 88.
^ ^أ ^ب البعلبكي (2008)، ص. 1255.
^ ^أ ^ب ساسين (2007)، ص. 862.
^ دعبول (2018)، ص. 727.
^ ^أ ^ب التهانوي، ج. 1، ص. 605.
^ التهانوي، ج. 2، ص. 1150-1151.
^ ^أ ^ب دعبول (2018)، ص. 647 ،142 ،699 ،143 ،622 ،141.
^ مجمع القاهرة (1955)، ص. 292.
^ الأحمد (2004)، ص. 166.
^ الكلنبوي (2019)، ص. 151.
^ البيروني (2002)، ج. 1، ص. 275.
^ ^أ ^ب راشد (2005)، ج. 2، ص. 642-647.
^ الفيروزأبادي (1998)، ص. 1298.
^ البيروني (2002)، ج. 1، ص. 225.
^ الجيوسي (2005)، ص. 129.
^ موير (2004)، ص. 68.
^ محمود (2011)، ص. 53.
^ موير (2004)، ص. 123-126.
^ موير (2004)، ص. 199.

بالإنكليزية

^ ^أ ^ب Katz (2009), p. 210 .
^ Fogiel (1984), p. 211 .
^ ^أ ^ب ^ت ^ث ^ج ^ح ^خ Plofker (2009), p. 257 .
^ ^أ ^ب Merlet (2004), p. 196 .
^ Simpson (1989), vol. 17, p. 608 .
^ ^أ ^ب Rashid (1996), vol. 2, p. 505، 512 .
^ Simpson (1989), vol. 14, p. 822 .
^ Roegel (2010), p. 4 .
^ Datta (1983), p. 40 .
^ Krantz (2010), p. 81 .
^ Eves (1983), p. 96 .
^ ^أ ^ب ^ت ^ث ^ج Boyer (1991), p. 210 .
^ Walker (1999), p. 167-168 .
^ Gingerich (1983), p. 74 .
^ ^أ ^ب ^ت ^ث Sesiano (2000), p. 157 .
^ Rashid (1996), vol. 3, p. 769 .
^ ^أ ^ب Tonias (2016), p. 16 .
^ ^أ ^ب ^ت Guergour (2005), p. 420 .
^ ^أ ^ب Pickover (2009), p. 106 .
^ Anderson (2004), p. 139 .
^ Imhausen (2007), p. 308 .
^ Bradley (2007), p. 100 .
^ Nielsen (1966), p. xxiii–xxiv .
^ Air Force (1954), p. 33 .
^ Lindeburg (2012), p. 78-7 .
^ Berresford (2015), p. 553 .
^ ^أ ^ب ^ت ^ث Protter (1970), p. APP-2,APP-3 .
^ Heng (2001), p. 228 .
^ ^أ ^ب Larson (2013), p. 153 .
^ Schaumberger (1974), p. 73-76 .
^ Niven (1963), p. 41 .
^ Bennett (2004), p. 322 .
^ Murty (2014), p. 103 .
^ Abramowitz (1965), p. 74 .
^ Wintucky (1971), p. 6-7 .
^ Gowers (2010), p. 307 .
^ ^أ ^ب Thomas (1995), chapt. 8.9 .
^ Ahlfors (1966), p. 43-44 .
^ Vaughn (2007), p. 184 .
^ Aigner (2000), p. 149 .
^ Remmert (2001), p. 327 .
^ Hijab (2016), p. 207 .
^ ^أ ^ب Campos (2012), p. 18 .
^ Gowers (2010), p. 307-308 .
^ Pivato (2010), p. 243 .
^ Kantabutra (1996), p. 328-339 .
^ Lee (2004), p. 364 .
^ Brent (1976), p. 242–251 .
^ Abramowitz (1965), p. 72 .
^ Gellert (1989), p. 264 .
^ ^أ ^ب Pan (1964), p. 529-530 .
^ Zwillinger (2011), p. 219 .
^ Thomas (1995), p. 138 .
^ Olver (2010), p. 116 .
^ Hobson (1891), p. 39 .
^ Sullivan (1988), p. 243 .
^ Beyer (1996), p. 43-44 .
^ Olver (2010), p. 121 .
^ Beyer (1987), p. 323 .
^ Árpád (2010), p. 14 .
^ NIST (1952), p. V .
^ Schuyler (1875), p. 161 .
^ Fogiel (1984), p. 143 .
^ Larson (2011), p. 702 .
^ Strang (1991), p. 389 .
^ Peirce (1861), p. 400 .
^ ^أ ^ب Folland (2009), p. 77 .
^ Smith (1997), p. 481 .
^ Tenenbaum (1985), p. 314 .
^ Moebs (2016), p. 172 .
^ Selezhnev (1963), p. 47 .
^ ^أ ^ب King (1986), p. 83 .
^ Oppenheim (2008), p. 583 .

وب

^ ^أ ^ب "Table of Domain and Range of Common Functions". analyzemath (بEnglish). Archived from the original on 08–02–2019. Retrieved 23–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ J. J. O'Connor; E. F.Robertson. "Madhava of Sangamagrama". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 2006-05-14. Retrieved 08–09–2007.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson. "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni". School of Mathematics and StatisticsUniversity of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 17–07–2020. Retrieved 24–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ J. J. O'Connor; E. F.Robertson. "Albert Girard". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 05–02–2023. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson. "Thomas Fincke". School of Mathematics and StatisticsUniversity of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 2017-01-07. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ Weisstein, Eric W. "Circular Functions". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2017-04-03. Retrieved 23–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ ^أ ^ب Weisstein, Eric W. "Trigonometry Angles--Pi/9". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2019-12-30. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ ^أ ^ب "Sine: Introduction to the trigonometric functions (subsection Trigonometrics/05)". Wolfram Research (بEnglish). Archived from the original on 2016-05-02. Retrieved 2020-04-14.
^ Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Pole". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2020-03-18. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ Gandhi, Viswanathan (07–10–2014). "Domain coloring for visualizing complex functions". Gandhi Viswanathan's Blog (بEnglish). Archived from the original on 2020-04-12. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ Alex Svirin. "Weierstrass Substitution". Math24 (بEnglish). Archived from the original on 2020-03-27. Retrieved 2020-03-27.
^ Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2020-04-13. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ Weisstein, Eric W. "Gudermannian". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 23–06–2023. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ "Area of Triangle Using Trigonometry". mathbitsnotebook (بEnglish). Archived from the original on 2019-10-29. Retrieved 21–05–2020.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ Weisstein, Eric W. "Fourier Transform". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2020-03-18. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ Weisstein, Eric W. "Lissajous Curve". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2019-11-15. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ "Electrical Power in AC Circuits and Reactive Power". electronics-tutorials (بEnglish). Archived from the original on 12–07–2019. Retrieved 31–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)
^ Eli Maor; Raymond Walter Barnard. "Trigonometry" (بEnglish). Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 2023-10-19.

معلومات المراجع كاملة

الكتب: بالعربية

Q114600477، QID:Q114600477
Q120808017، QID:Q120808017
Q120833288، QID:Q120833288
Q120829593، QID:Q120829593
Q120776485، QID:Q120776485
Q120867724، QID:Q120867724
Q120870193، QID:Q120870193
Q120799140، QID:Q120799140
Q112315598، QID:Q112315598
Q120802752، QID:Q120802752
Q108593221، QID:Q108593221
Q120828359، QID:Q120828359

بالإنكليزية

Q121033840، QID:Q121033840
Q121030014، QID:Q121030014
Q121009322، QID:Q121009322
Q121028174، QID:Q121028174
Q120912867، QID:Q120912867
Q121070378، QID:Q121070378
Q121008744، QID:Q121008744
Q120962780، QID:Q120962780
Q120973648، QID:Q120973648
Q120904032، QID:Q120904032
Q120892716، QID:Q120892716
Q120917123، QID:Q120917123
Q120834208، QID:Q120834208
Q120825513، QID:Q120825513
Q121059833، QID:Q121059833
Q121027833، QID:Q121027833
Q121009798، QID:Q121009798
Q120986539، QID:Q120986539
Q120829013، QID:Q120829013
Q121033360، QID:Q121033360
Q120969870، QID:Q120969870
Q120861506، QID:Q120861506
Q121055028، QID:Q121055028
Q120869372، QID:Q120869372
Q120870100، QID:Q120870100
Q120884889، QID:Q120884889
Q120969645، QID:Q120969645
Q120892530، QID:Q120892530
Q120905087، QID:Q120905087
Q120906849، QID:Q120906849
Q120973188، QID:Q120973188
Q120806397، QID:Q120806397
Q120885623، QID:Q120885623
Q120828234، QID:Q120828234
Q121009509، QID:Q121009509
Q120968602، QID:Q120968602
Q120833573، QID:Q120833573
Q120974205، QID:Q120974205
Q121027903، QID:Q121027903
Q121032244، QID:Q121032244
Q121009020، QID:Q121009020
Q120985808، QID:Q120985808
Q120913237، QID:Q120913237
Q120918455، QID:Q120918455
Q120965474، QID:Q120965474
Q120913832، QID:Q120913832
Q120975301، QID:Q120975301
Q121067181، QID:Q121067181
Q120885033، QID:Q120885033
Q121863124، QID:Q121863124
Q121916112، QID:Q121916112
King، David A. (1986). "Ḳibla: Astronomical Aspects". في Bosworth، C. E.؛ van Donzel، E.؛ Lewis، B.؛ Pellat، Ch. (المحررون). The Encyclopaedia of Islam, New Edition, Volume V: Khe–Mahi. Leiden: E. J. Brill. ISBN:90-04-07819-3. {{استشهاد بموسوعة}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)

تقارير ومقالات ودوريات محكمة: العربية

Q120964344، QID:Q120964344
Q120824978، QID:Q120824978
Q120885449، QID:Q120885449

بالفرنسية

Q120870525، QID:Q120870525

الإنكليزية

Q120965784، QID:Q120965784
Q54293679، QID:Q54293679
Q55887322، QID:Q55887322
Q120833133، QID:Q120833133
Q55880842، QID:Q55880842
Q120867638، QID:Q120867638
Q121009655، QID:Q121009655
Q120906550، QID:Q120906550
Q120836269، QID:Q120836269
Q54000176، QID:Q54000176
Q120885371، QID:Q120885371
Q54049142، QID:Q54049142
Q120867342، QID:Q120867342

[14] هي عدد صحيح كيفي.

[16] أو تلك التدوينات: cotan, cotg ctg, ctn

[17] أو هذا التدوين: cosec

[35] كانت العلاقة المثلثية لدالة الظل معروفة عند الهنود، ولكن لم يعتبروها كميةً مثلثيةً مستقلة كدالة الجيب.

[:4-52] أ ^ب يعني الشريط الأفقي فوق الرقم أنه يتكرر إلى ما لا نهاية.

[مولد_تلقائيا20-55] يسمى أيضًا محور الفواصل أو محور الأفاصيل

[57] عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ θ > 0، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ θ < 0.

[64] يسمى أيضا "عدد مركب"

[73] نصف قطر التقارب لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة. وهو إما عدد حقيقي غير سالب وإما ∞.

[82] حيث: a هو ثابت حقيقي. s هو عدد مركب.

[83] مع: ω هي التردد الزاوي و(.)δ هي دالة ديراك وi هي وحدة تخيلية مربعها يساوي 1-.

[مولد_تلقائيا21-91] أطوال الأضلاع تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس الدائرة العظمى في المركز بالراديان. لذلك، بالنسبة لكرة ذات نصف قطر R لا يساوي الواحد، يجب قسمة أطوال الأقواس على R قبل استخدام المتطابقة.

[92] =CB، و b=CA، و c=AB

[113] تحسب القيمة فقط باستعمال الحاسبة أو باستعمال الحاسوب لأن التكاملات الإهليلجية لا يمكن التعبير عنها باستخدام الدوال الابتدائية مثل الدوال الجبرية والمثلثية والأسية واللوغاريتمية.

[116] المسح الاجتيازي هو طريقة لمسح منطقة مفتوحة أو مغلقة باستخدام قياس الزوايا والمسافات.

[مولد_تلقائيا22-123] يجب تحويل الإحداثيات إلى الراديان في الحساب.

[126] حيث:
i هي دالة التيار الكهربائي

v هي دالة الجهد الكهربائي

V_m وI_m هما سِعَتا دالتي الجهد والتيار الكهربائيين على الترتيب.

ω هو التردد الزاوي.

θ هو الطور الابتدائي.

[18] هي دالة التيار الكهربائي

[19] v هي دالة الجهد الكهربائي

[20] V_m وI_m هما سِعَتا دالتي الجهد والتيار الكهربائيين على الترتيب.

[21] ω هو التردد الزاوي.

[22] θ هو الطور الابتدائي.

[127] تسمى القدرة أيضًا الاستطاعة

[1] مكتب التنسيق (1990)، ص. 153.

[م3-2] أ ^ب ^ت ^ث ^ج موير (2004)، ص. 22.

[3] القوصي (2013)، ص. 88.

[م1-4] أ ^ب البعلبكي (2008)، ص. 1255.

[م2-5] أ ^ب ساسين (2007)، ص. 862.

[6] دعبول (2018)، ص. 727.

[:06-8] أ ^ب التهانوي، ج. 1، ص. 605.

[9] التهانوي، ج. 2، ص. 1150-1151.

[م4-10] أ ^ب دعبول (2018)، ص. 647 ،142 ،699 ،143 ،622 ،141.

[11] مجمع القاهرة (1955)، ص. 292.

[12] الأحمد (2004)، ص. 166.

[20] الكلنبوي (2019)، ص. 151.

[21] البيروني (2002)، ج. 1، ص. 275.

[:0-22] أ ^ب راشد (2005)، ج. 2، ص. 642-647.

[27] الفيروزأبادي (1998)، ص. 1298.

[37] البيروني (2002)، ج. 1، ص. 225.

[38] الجيوسي (2005)، ص. 129.

[مولد_تلقائيا9-59] موير (2004)، ص. 68.

[87] محمود (2011)، ص. 53.

[101] موير (2004)، ص. 123-126.

[108] موير (2004)، ص. 199.

[REF1-7] أ ^ب Katz (2009), p. 210 .

[13] Fogiel (1984), p. 211 .

[مولد_تلقائيا3-18] أ ^ب ^ت ^ث ^ج ^ح ^خ Plofker (2009), p. 257 .

[REF2-19] أ ^ب Merlet (2004), p. 196 .

[مولد_تلقائيا2-23] Simpson (1989), vol. 17, p. 608 .

[مولد_تلقائيا16-24] أ ^ب Rashid (1996), vol. 2, p. 505، 512 .

[25] Simpson (1989), vol. 14, p. 822 .

[Roegel_2010-26] Roegel (2010), p. 4 .

[Datta-28] Datta (1983), p. 40 .

[29] Krantz (2010), p. 81 .

[30] Eves (1983), p. 96 .

[Boyer_19912-31] أ ^ب ^ت ^ث ^ج Boyer (1991), p. 210 .

[33] Walker (1999), p. 167-168 .

[Gingerich_1986-34] Gingerich (1983), p. 74 .

[Sesiano-36] أ ^ب ^ت ^ث Sesiano (2000), p. 157 .

[39] Rashid (1996), vol. 3, p. 769 .

[مولد_تلقائيا17-41] أ ^ب Tonias (2016), p. 16 .

[مولد_تلقائيا18-42] أ ^ب ^ت Guergour (2005), p. 420 .

[REF-100-43] أ ^ب Pickover (2009), p. 106 .

[44] Anderson (2004), p. 139 .

[45] Imhausen (2007), p. 308 .

[48] Bradley (2007), p. 100 .

[49] Nielsen (1966), p. xxiii–xxiv .

[50] Air Force (1954), p. 33 .

[51] Lindeburg (2012), p. 78-7 .

[53] Berresford (2015), p. 553 .

[مولد_تلقائيا1-54] أ ^ب ^ت ^ث Protter (1970), p. APP-2,APP-3 .

[Heng-56] Heng (2001), p. 228 .

[Larson_2013-60] أ ^ب Larson (2013), p. 153 .

[61] Schaumberger (1974), p. 73-76 .

[niven-62] Niven (1963), p. 41 .

[63] Bennett (2004), p. 322 .

[66] Murty (2014), p. 103 .

[67] Abramowitz (1965), p. 74 .

[68] Wintucky (1971), p. 6-7 .

[69] Gowers (2010), p. 307 .

[:83-71] أ ^ب Thomas (1995), chapt. 8.9 .

[72] Ahlfors (1966), p. 43-44 .

[74] Vaughn (2007), p. 184 .

[Aigner_2000-76] Aigner (2000), p. 149 .

[77] Remmert (2001), p. 327 .

[78] Hijab (2016), p. 207 .

[:6-79] أ ^ب Campos (2012), p. 18 .

[81] Gowers (2010), p. 307-308 .

[84] Pivato (2010), p. 243 .

[85] Kantabutra (1996), p. 328-339 .

[86] Lee (2004), p. 364 .

[88] Brent (1976), p. 242–251 .

[90] Abramowitz (1965), p. 72 .

[93] Gellert (1989), p. 264 .

[Allen_1976-94] أ ^ب Pan (1964), p. 529-530 .

[95] Zwillinger (2011), p. 219 .

[96] Thomas (1995), p. 138 .

[97] Olver (2010), p. 116 .

[98] Hobson (1891), p. 39 .

[99] Sullivan (1988), p. 243 .

[100] Beyer (1996), p. 43-44 .

[103] Olver (2010), p. 121 .

[104] Beyer (1987), p. 323 .

[106] Árpád (2010), p. 14 .

[107] NIST (1952), p. V .

[110] Schuyler (1875), p. 161 .

[مولد_تلقائيا14-111] Fogiel (1984), p. 143 .

[112] Larson (2011), p. 702 .

[114] Strang (1991), p. 389 .

[115] Peirce (1861), p. 400 .

[م7-118] أ ^ب Folland (2009), p. 77 .

[119] Smith (1997), p. 481 .

[120] Tenenbaum (1985), p. 314 .

[121] Moebs (2016), p. 172 .

[124] Selezhnev (1963), p. 47 .

[:0-125] أ ^ب King (1986), p. 83 .

[Larson_20132-129] Oppenheim (2008), p. 583 .

[:9-15] أ ^ب "Table of Domain and Range of Common Functions". analyzemath (بEnglish). Archived from the original on 08–02–2019. Retrieved 23–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[mact-biog2-32] J. J. O'Connor; E. F.Robertson. "Madhava of Sangamagrama". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 2006-05-14. Retrieved 08–09–2007.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[40] J. J. O'Connor; E. F. Robertson. "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni". School of Mathematics and StatisticsUniversity of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 17–07–2020. Retrieved 24–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[MacTutor"-46] J. J. O'Connor; E. F.Robertson. "Albert Girard". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 05–02–2023. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[Fincke-47] J. J. O'Connor; E. F. Robertson. "Thomas Fincke". School of Mathematics and StatisticsUniversity of St Andrews (بEnglish). Archived from the original on 2017-01-07. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[58] Weisstein, Eric W. "Circular Functions". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2017-04-03. Retrieved 23–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[:7-65] أ ^ب Weisstein, Eric W. "Trigonometry Angles--Pi/9". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2019-12-30. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[م10-70] أ ^ب "Sine: Introduction to the trigonometric functions (subsection Trigonometrics/05)". Wolfram Research (بEnglish). Archived from the original on 2016-05-02. Retrieved 2020-04-14.

[75] Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Pole". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2020-03-18. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[80] Gandhi, Viswanathan (07–10–2014). "Domain coloring for visualizing complex functions". Gandhi Viswanathan's Blog (بEnglish). Archived from the original on 2020-04-12. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[89] Alex Svirin. "Weierstrass Substitution". Math24 (بEnglish). Archived from the original on 2020-03-27. Retrieved 2020-03-27.

[102] Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2020-04-13. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[105] Weisstein, Eric W. "Gudermannian". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 23–06–2023. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[109] "Area of Triangle Using Trigonometry". mathbitsnotebook (بEnglish). Archived from the original on 2019-10-29. Retrieved 21–05–2020.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[117] Weisstein, Eric W. "Fourier Transform". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2020-03-18. Retrieved 28–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[122] Weisstein, Eric W. "Lissajous Curve". Wolfram Mathworld (بEnglish). Archived from the original on 2019-11-15. Retrieved 25–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[128] "Electrical Power in AC Circuits and Reactive Power". electronics-tutorials (بEnglish). Archived from the original on 12–07–2019. Retrieved 31–07–2023.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: تنسيق التاريخ (link)

[130] Eli Maor; Raymond Walter Barnard. "Trigonometry" (بEnglish). Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 2023-10-19.

[عر 1]

[عر 2]

[عر 3]

[عر 4]

[عر 5]

[عر 6]

[1]

[عر 7]

[عر 8]

[عر 9]

[عر 10]

[عر 11]

[2]

[ملاحظة 1]

[وب 1]

[ملاحظة 2]

[ملاحظة 3]

[3]

[4]

[عر 12]

[عر 13]

[عر 14]

[5]

[6]

[7]

[8]

[عر 15]

[9]

[10]

[11]

[12]

[وب 2]

[13]

[14]

[ملاحظة 4]

[15]

[عر 16]

[عر 17]

[16]

[وب 3]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[وب 4]

[وب 5]

[22]

[23]

[24]

[25]

[ملاحظة 5]

[26]

[27]

[ملاحظة 6]

[28]

[ملاحظة 7]

[وب 6]

[عر 18]

[29]

[30]

[31]

[32]

[ملاحظة 8]

[وب 7]

[33]

[34]

[35]

[36]

[وب 8]

[37]

[38]

[ملاحظة 9]

[39]

[وب 9]

[40]

[41]

[42]

[43]

[وب 10]

[44]

[ملاحظة 10]

[ملاحظة 11]

[45]

[46]

[47]

[عر 19]

[48]

[وب 11]

[49]

[ملاحظة 12]

[ملاحظة 13]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

ع ن ت دوال رياضية شائعة
دوال جبرية كسرية	كثيرة الحدود كسرية
دول جبرية غير كسرية	دالة القوة / جذر نوني
دوال متسامية	لوغاريتم / دالة أسية لوغاريتم طبيعي / دالة الأس الطبيعي دوال مثلثية / دوال مثلثية عكسية دوال زائدية دالة إهليلجية

@@ سطر 8: / سطر 8: @@
 يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها [[نسبة (رياضيات)|نسبةٌ]] بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]. عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا °180 دائماً.
-توجد تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة [[تكامل|التكاملات]] و[[متسلسلة قوى|متسلسلات القوى]] و[[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]]، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم [[متسلسلة تايلور]] أو [[متسلسلة لوران|لوران]] على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]].
+توجد تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة [[تكامل|التكاملات]] و[[متسلسلة قوى|متسلسلات القوى]] و[[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]]، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم [[متسلسلة تايلور]] أو [[متسلسلة لوران|لوران]] على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى [[مستو مركب|المستوي المركب]].
 يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك [[دوال زوجية وفردية|الزوجية والفردية]]، و[[دالة دورية|الدورية]] و[[دالة مستمرة|الاستمرارية]] و{{وإو|تر=Orthogonal functions|عر=دوال متعامدة|نص=التعامد}}.
-التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل [[مساحة (علم)|علم المساحة]] و[[ملاحة|الملاحة]] ومجالات [[فيزياء|الفيزياء]] المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية [[تثليث (تقنية)|التثليث]] التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في {{وإو|تر=3D reconstruction|عر=القياس البصري ثلاثي الأبعاد}}؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه ال[[قبلة]] بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي [[بصريات|البصريات]]، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة [[انكسار (فيزياء)|انكسار الضوء]]. الدوال المثلثية [[دالة دورية|دوال دوريَّةٌ]]، أي أنها تُكرر قيمتها بعد [[مجال فاصل (رياضيات)|مجال]] محدد؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة [[موجة|كالموجات]] وهي الأساس الذي يرتكز عليه [[تحويل فورييه]]. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ [[متغير (رياضيات)|بمتغير]] [[عدد حقيقي|حقيقي]] وذات قيم [[عدد مركب|عقديّة]] إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في [[صناعة الطاقة الكهربائية]] و[[اتصال عن بعد|الاتصالات]]، ويشمل هذا تطبيق دراسة [[تيار متردد|التيارات المتناوبة]] و[[تضمين (إلكترونيات)|التضمين]] التي تعتمد على [[موجة جيبية|موجات جيبية]].
+التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل [[مساحة (علم)|علم المساحة]] و[[ملاحة|الملاحة]] ومجالات [[فيزياء|الفيزياء]] المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية [[تثليث (تقنية)|التثليث]] التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في {{وإو|تر=3D reconstruction|4=القياس البصري الثلاثي الأبعاد|عر=إعادة بناء ثلاثي الأبعاد}}؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه ال[[قبلة]] بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي [[بصريات|البصريات]]، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة [[انكسار (فيزياء)|انكسار الضوء]]. الدوال المثلثية [[دالة دورية|دوال دوريَّةٌ]]، أي أنها تُكرر قيمتها بعد [[مجال فاصل (رياضيات)|مجال]] محدد؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة [[موجة|كالموجات]] وهي الأساس الذي يرتكز عليه [[تحويل فورييه]]. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ [[متغير (رياضيات)|بمتغير]] [[عدد حقيقي|حقيقي]] وذات قيم [[عدد مركب|مركّبة]] إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في [[صناعة الطاقة الكهربائية]] و[[اتصال عن بعد|الاتصالات]]، ويشمل هذا تطبيق دراسة [[تيار متردد|التيارات المتناوبة]] و[[تضمين (إلكترونيات)|التضمين]] التي تعتمد على [[موجة جيبية|موجات جيبية]].
 == تعريف الدوال ==
@@ سطر 93: / سطر 93: @@
 وفقتً لطريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (تسمية دالة القاطع في عصر الحضارة الإسلامية) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أطلق الغربيون عليه اسم «secant»؛<ref name="مولد تلقائيا16" /> استمدت هذه الكلمة من اللاتينية "secans" التي تعني «يَقْطَع».<ref>{{استشهاد مختصر|Simpson|1989|ج=14|ص=822|لغة=en}}</ref>
-أما عن بادئة -co الموجودة في('''Co'''sine، '''Co'''tangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم [[إدموند غونتر]] الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لعبارة sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى «جيب [[زاويتان متتامتان|الزاوية المتممة لزاوية]]»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛<ref name="Roegel_2010">{{استشهاد مختصر|Roegel|2010|ص=4|لغة=en}}</ref> أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛<ref name="مولد تلقائيا3" /> التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب [[قوس (هندسة)|القوس]] المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس»<ref group ="عر">{{استشهاد مختصر|الفيروزأبادي|1998|ص=1298}}</ref> أو «نهاية» أو «طَرَف» عموماً، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر آنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.<ref name="مولد تلقائيا3" /><ref name="Datta">{{استشهاد مختصر|Datta|1983|ص=40|لغة=en}}</ref>
+أما عن بادئة -co الموجودة في ('''Co'''sine، '''Co'''tangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم [[إدموند غونتر]] الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لعبارة sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى «جيب [[زاويتان متتامتان|الزاوية المتممة لزاوية]]»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛<ref name="Roegel_2010">{{استشهاد مختصر|Roegel|2010|ص=4|لغة=en}}</ref> أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛<ref name="مولد تلقائيا3" /> التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب [[قوس (هندسة)|القوس]] المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس»<ref group ="عر">{{استشهاد مختصر|الفيروزأبادي|1998|ص=1298}}</ref> أو «نهاية» أو «طَرَف» عموماً، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر آنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.<ref name="مولد تلقائيا3" /><ref name="Datta">{{استشهاد مختصر|Datta|1983|ص=40|لغة=en}}</ref>
 == التاريخ ==
@@ سطر 100: / سطر 100: @@
 [[ملف:Plimpton 322.jpg|تصغير|180x180px|اللوح المسماري المعروف باسم [[بليمبتون 322]]، يقال عنها أنها تحتوي على جدول [[قاطع (حساب المثلثات)|القواطع]] لخمسة عشر زاوية تتراوح بين 30 و45 درجة.|يمين]]
-[[ملف:Hipparchos 1.jpeg|تصغير|182x182px|[[أبرخش]]، الملقب بـ «أبي حساب المثلثات»]]
+[[ملف:Head of Hipparchus (cropped).jpg|تصغير|182x182px|[[أبرخش]]، الملقب بـ «أبي حساب المثلثات»]]
 عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في [[علم الفلك]]، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في [[بلاد الرافدين]].
@@ سطر 232: / سطر 232: @@
 '''[[دورة (هندسة رياضية)|الدورة]]''': تعادل 360° أو 2π راديان.
-'''[[دقيقة القوس وثانيته]]''': هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في [[نظام إحداثيات جغرافي|نظام الاحداثيات الجغرافية]].
+'''[[دقيقة القوس وثانيته]]''': هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في [[نظام إحداثيات جغرافية|نظام الإحداثيات الجغرافية]].
 * '''دقيقة القوس''': تساوي 1/60 درجة أي {{يسار إلى يمين|0.01{{سطر فوقي|6}}°}}،<ref name=":4" group="ملاحظة">يعني الشريط الأفقي فوق الرقم أنه يتكرر إلى ما لا نهاية.</ref> يشار إليها بقيمة متبوعة [[فاصلة عليا|بفاصلة عليا]] (').
@@ سطر 463: / سطر 463: @@
 مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات كسرية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يُعبَّر عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، ويعني هذا إنشاء الزوايا ذات الصلة بقيم الجيب وجيب التمام [[إنشاء بمسطرة وفرجار|باستعمال المسطرة والفرجار]].
-يمكن التعبير عن جيب زاوية عدد صحيح بالدرجات وجيب تمامها بدلالة [[جذر تربيعي|الجذور التربيعية]] [[جذر تكعيبي|والجذر التكعيبي]] [[عدد مركب|لعدد عقدي]]<ref group="ملاحظة">يسمى أيضا "عدد مركب"</ref> غير حقيقي.<ref name=":7" group="وب">{{استشهاد ويب
+يمكن التعبير عن جيب زاوية عدد صحيح بالدرجات وجيب تمامها بدلالة [[جذر تربيعي|الجذور التربيعية]] [[جذر تكعيبي|والجذر التكعيبي]] [[عدد مركب|لعدد مركب]]<ref group="ملاحظة">يسمى أيضا "عدد مركب"</ref> غير حقيقي.<ref name=":7" group="وب">{{استشهاد ويب
 | مسار = https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi9.html
 | عنوان = Trigonometry Angles--Pi/9
@@ سطر 533: / سطر 533: @@
    y\,'(0)=0
 \end{cases}</math>
+بتطبيق [[قاعدة ناتج القسمة]] على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
- بتطبيق [[قاعدة ناتج القسمة]] على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
 :<math>\frac{d}{dx}\tan x = 1+\tan^2 x.</math>
@@ سطر 544: / سطر 543: @@
 : إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل <math>y=A_1e^{m_1x}+A_2e^{m_2x}</math>، حيث ''<math>m_1</math>'' و ''<math>m_2</math>'' هما [[جذر دالة|جذور]] [[معادلة مميزة (تفاضل)|المعادلة المميزة للمعادلة]] (<math>am^2+bm+c=0</math>). أيضا <math>A_1</math> و <math>A_2</math> هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.
-: إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور عقدية، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية العقدية:
+: إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور مركبة، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية المركبة:
 :<math>y=A_1.e^{(\alpha+i \beta)x}+A_2.e^{(\alpha-i \beta)x}</math>
-: حيث α هو الجزء الحقيقي وβ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية العقدية إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور العقدية، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:
+: حيث α هو الجزء الحقيقي وβ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية المركبة إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور المركبة، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:
 :<math>y=A_1.e^ {\alpha x} \cos \beta x+A_2.e^ {\alpha x} \sin \beta x</math>
@@ سطر 597: / سطر 596: @@
 </div>
-[[نصف قطر التقارب]]<ref group="ملاحظة">'''نصف قطر التقارب''' [[متسلسلة قوى|لمتسلسلة قوى]] هو نصف قطر أكبر [[قرص (رياضيات)|قرص]] [[متسلسلة متقاربة|تتقارب]] فيه المتسلسلة. وهو إما عدد حقيقي غير سالب وإما ∞.</ref> لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى [[دالة صحيحة|دوالتي صحيحتين]]، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم عقدية و[[دالة تامة الشكل|تامة الشكل]] على مجمل [[مستوى عقدي|المستوي العقدي]].<ref>{{استشهاد مختصر|Vaughn|2007|ص=184|لغة=en}}</ref>
+[[نصف قطر التقارب]]<ref group="ملاحظة">'''نصف قطر التقارب''' [[متسلسلة قوى|لمتسلسلة قوى]] هو نصف قطر أكبر [[قرص (رياضيات)|قرص]] [[متسلسلة متقاربة|تتقارب]] فيه المتسلسلة. وهو إما عدد حقيقي غير سالب وإما ∞.</ref> لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى [[دالة صحيحة|دوالتي صحيحتين]]، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم مركبة [[دالة تحليلية تامة التشكل|وتامة التشكل]] على مجمل [[مستو مركب|المستوي المركب]].<ref>{{استشهاد مختصر|Vaughn|2007|ص=184|لغة=en}}</ref>
 ==== متسلسلات القوى لباقي الدوال ====
 الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين π/2- وπ/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 وπ وبين π- و0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة [[متسلسلة لوران]]، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود [[رفع (رياضيات)|المرفوعة]] لِأُس سالب).
-بتعبير أدق،U<sub>n</sub> هو [[تبديل متناوب]] من الرتبة n. وB<sub>n</sub> هو [[عدد برنولي|عدد بيرنولي]] من الرتبة n، وE<sub>n</sub>، هو [[أعداد أويلر|عدد أويلر]] من الرتبة n.
+بتعبير أدق،U<sub>n</sub> هو [[تبديل متناوب]] من المرتبة n. وB<sub>n</sub> هو [[عدد برنولي|عدد بيرنولي]] من المرتبة n، وE<sub>n</sub>، هو [[أعداد أويلر|عدد أويلر]] من المرتبة n.
 {{تحديد}}
 [[ملف:Taylor series for Trigonometric function-2-ar.svg|700بك|يسار]]
 {{تحديد}}
-تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى [[دالة جزئية الشكل|دوالجزئية الشكل]]، والتي هي دوال هولومورفية في كامل المستوي العقدي، باستثناء بعض [[نقطة معزولة|النقاط المعزولة]] التي تسمى [[قطب (تحليل عقدي)|الأقطاب]]، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.<ref group="وب">{{استشهاد ويب
+تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى [[دالة تحليلية جزئية التشكل|دوال جزئية التشكل]]، والتي هي دوال تامة التشكل في كامل المستوي المركب، باستثناء بعض [[نقطة معزولة|النقاط المعزولة]] التي تسمى [[قطب (تحليل مركب)|الأقطاب]]، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.<ref group="وب">{{استشهاد ويب
 | مسار = https://mathworld.wolfram.com/Pole.html
 |مؤلف1= Rowland, Todd
@@ سطر 617: / سطر 616: @@
 | تاريخ أرشيف = 18 مارس 2020 }}</ref>
-يمكن أيضًا حساب [[علاقة استدعاء ذاتي|علاقات الاستدعاء الذاتي]] لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير [[تركيبات|توافقي]]: فهي تُعدّد [[تبديل متناوب|التبديلات المتناوبة]] للمجموعات المنتهية.
+يمكن أيضًا حساب [[علاقة استدعاء ذاتي|علاقات الاستدعاء الذاتي]] لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير [[تحليل توافيقي|توافيقي]]: فهي تُعدّد [[تبديل متناوب|التبديلات المتناوبة]] للمجموعات المنتهية.
-عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستخدم عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من الرتبة n لمتسلسلة بواسطة:
+عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستخدم عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من المرتبة n لمتسلسلة بواسطة:
 ::<math>R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},a<c<x</math>
@@ سطر 628: / سطر 627: @@
 ==== متسلسلات أخرى ====
-يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن [[تحليل كسري جزئي|مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا]]، وفيه تُجمَع [[دالة المقلوب|دوال المقلوب]] المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:<ref name="Aigner_2000">{{استشهاد مختصر|Aigner|2000|ص=149|لغة=en}}</ref>
+يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن [[تحليل كسري جزئي|مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا]]، وفيه تُجمَع [[دالة المقلوب|دوال المقلوب]] المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلأرابيكا:<ref name="Aigner_2000">{{استشهاد مختصر|Aigner|2000|ص=149|لغة=en}}</ref>
 <div style="direction:ltr;">
 :<math>\pi\cot(\pi x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N\frac1{x+n}=\frac1x+\sum_{n=1}^\infty\frac{2x}{x^2-n^2}.</math>
@@ سطر 640: / سطر 639: @@
 === الكسور المستمرة المعممة ===
 {{أيضا|كسر مستمر معمم}}
-الكسور المستمرة المعممة هي تعميم [[كسر مستمر|للكسور المستمرة]] الاعتيادية في المجالين الحقيقي والعقدي.
+الكسور المستمرة المعممة هي تعميم [[كسر مستمر|للكسور المستمرة]] الاعتيادية في المجالين الحقيقي والمركب.
 يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:<ref>{{استشهاد مختصر|Hijab|2016|ص=207|لغة=en}}</ref>
@@ سطر 654: / سطر 653: @@
 === متسلسلة الجداء اللانهائي ===
-الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:<ref name=":6">{{استشهاد مختصر|Campos|2012|ص=18|لغة=en}}</ref>
+الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل المركب:<ref name=":6">{{استشهاد مختصر|Campos|2012|ص=18|لغة=en}}</ref>
 <math>\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>
@@ سطر 671: / سطر 670: @@
 بشرط أن تكون 0 < x > sin(x) > x.cos(x) من أجل 0 < x > 1.
-=== في المستوى العقدي ===
+=== في المستوى المركب ===
-{{أيضا|تحليل عقدي}}
+{{أيضا|تحليل مركب}}
-يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام[[عدد مركب|لعدد عقدي]] باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع [[دوال زائدية|الدوال الزائدية]]:
+يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام [[عدد مركب|لعدد مركب]] باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع [[دوال زائدية|الدوال الزائدية]]:
 [[ملف:Complex Trigonometric functions.svg|يسار|300بك]]
 {{تحديد}}
-من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم العقدية بيانياً عن طريق [[تلوين المجال|التمثيل بتلوين المجال]]. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو [[قطب (تحليل عقدي)|أقطاب]] بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك [[دوال زائدية#الدوال الزائدية للأعداد المركبة|التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية]] توضح العلاقات بينهما.<ref group="وب">{{استشهاد ويب
+من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم المركبة بيانياً عن طريق [[تلوين المجال|التمثيل بتلوين المجال]]. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال المركبة من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو [[قطب (تحليل عقدي)|أقطاب]] بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك [[دوال زائدية#الدوال الزائدية للأعداد المركبة|التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية]] توضح العلاقات بينهما.<ref group="وب">{{استشهاد ويب
 | الأخير = Gandhi
 | الأول = Viswanathan
@@ سطر 689: / سطر 688: @@
 |تاريخ أرشيف=2020-04-12}}</ref>
-عند تمثيل الدوال في المستوى العقدي، تُمثَّل [[عمدة عدد مركب|العمدة]] بالألوان، و[[معيار عدد مركب|المعيار]] بوسائل أخرى، مثل ال[[سطوع]] أو [[تلون|الاشباع اللوني]].
+عند تمثيل الدوال في المستوى المركب، تُمثَّل [[عمدة عدد مركب|العمدة]] بالألوان، و[[معيار عدد مركب|المعيار]] بوسائل أخرى، مثل ال[[سطوع]] أو [[تلون|الإشباع اللوني]].
 <gallery>
@@ سطر 698: / سطر 697: @@
 Complex_Sec.jpg|sec z
 Complex_Csc.jpg|csc z
-Complex coloring.jpg|التمثيل البياني للعدد العقدي z = x + iy الذي استخدم في التمثيلات البيانية.
+Complex coloring.jpg|التمثيل البياني للعدد المركب z = x + iy الذي استخدم في التمثيلات البيانية.
 </gallery>
@@ سطر 731: / سطر 730: @@
 === تحويلا لابلاس وفورييه ===
-[[تحويل لابلاس]] هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:<ref group="ملاحظة">حيث: a هو ثابت حقيقي. s هو عدد عقدي.</ref>
+[[تحويل لابلاس]] هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:<ref group="ملاحظة">حيث: a هو ثابت حقيقي. s هو عدد مركب.</ref>
 * تحويل الجيب:
@@ سطر 761: / سطر 760: @@
 يلزم لحساب قيمة دالة مثلثية لأي زاوية تقليص مجال الزاوية، مثلاً من الصفر إلى π/2، باستخدام خاصيتي الدورية والتناظر للدوال المثلثية.
-حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام [[قائمة المطابقات المثلثية#صيغ الزوايا المتعددة|متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية]]، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.
+حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام [[قائمة المتطابقات المثلثية#صيغ الزوايا المتعددة|متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية]]، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.
 تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في [[معالج (حوسبة)|المعالِجات]] الراقية ذات [[وحدة الفاصلة العائمة|وحدات الفاصلة العائمة]]، في جمع بين [[نظرية التقريب|تقريب]] بواسطة [[متعددة الحدود|كثير الحدود]] أو بواسطة [[دالة كسرية|الدوال الكسرية]] (مثل [[تقريب تشيبيشيف]]، [[تقريب بادي]]، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، [[متسلسلة تايلور|متسلسلات تايلور]] و[[متسلسلة لوران]]) وتقليص المدى والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التصحيح.<ref>{{استشهاد مختصر|Kantabutra|1996|ص=328-339|لغة=en}}</ref><ref>{{استشهاد مختصر|Lee|2004|ص=364|لغة=en}}</ref> على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى [[ضارب ثنائي|مضاعف العتاد]]، توجد خوارزمية تسمى [[كوردك|CORDIC]] عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.<ref group="عر">{{استشهاد مختصر|محمود|2011|ص=53}}</ref>
-يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة [[متوسط حسابي هندسي|المتوسط الحسابي الهندسي]] عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة [[تكامل إهليلجي]] ([[عدد مركب|عقدي]]).<ref>{{استشهاد مختصر|Brent|1976|ص=242–251|لغة=en}}</ref>
+يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة [[متوسط حسابي هندسي|المتوسط الحسابي الهندسي]] عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة [[تكامل إهليلجي]] ([[عدد مركب|مركب]]).<ref>{{استشهاد مختصر|Brent|1976|ص=242–251|لغة=en}}</ref>
 == متطابقات أساسية ومبرهنات ==
-{{أيضا|قائمة المطابقات المثلثية}}
+{{أيضا|قائمة المتطابقات المثلثية}}
-هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع [[قائمة المطابقات المثلثية]]. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم العقدية واستخدام خصائص [[دالة أسية|الدالة الأسية]].
+هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع [[قائمة المتطابقات المثلثية]]. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم المركبة واستخدام خصائص [[دالة أسية|الدالة الأسية]].
 === متطابقة فيثاغورس ===
@@ سطر 797: / سطر 797: @@
 [[ملف:Trigonometric functions double-angle formulae.svg|500بك|يسار]]
 {{تحديد}}
-يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق [[قائمة المطابقات المثلثية#متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس|متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء]].
+يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق [[قائمة المتطابقات المثلثية#متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس|متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء]].
 بوضع θ = 2x وt = tan(x) هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ θ [[دالة كسرية|كدالة كسرية]] لـ <math display="inline">t=\tan \frac{\theta}{2}</math>
@@ سطر 1٬006: / سطر 1٬006: @@
 \arcsin z = z + \left(\frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left(\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\,.</math>
-يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة [[لوغاريتم عقدي|اللوغاريتمات العقدية]].<ref group="وب">{{استشهاد ويب
+يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة [[لوغاريتم مركب|اللوغاريتمات المركبة]].<ref group="وب">{{استشهاد ويب
 | مسار = https://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html
 | عنوان = Inverse Trigonometric Functions
@@ سطر 1٬042: / سطر 1٬042: @@
 {{تحديد}}
-هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام [[عدد مركب|الأعداد العقدية]] تُعْرَف [[دالة غودرمانية|بالدالة الغودرمانية]]، وهي معرّفة في ℝ نحو <math>\left ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[</math> بـ:<ref>{{استشهاد مختصر|Olver|2010|ص=121|لغة=en}}</ref><ref>{{استشهاد مختصر|Beyer|1987|ص=323|لغة=en}}</ref><ref group="وب">{{استشهاد ويب
+هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] تُعْرَف [[دالة غودرمانية|بالدالة الغودرمانية]]، وهي معرّفة في ℝ نحو <math>\left ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[</math> بـ:<ref>{{استشهاد مختصر|Olver|2010|ص=121|لغة=en}}</ref><ref>{{استشهاد مختصر|Beyer|1987|ص=323|لغة=en}}</ref><ref group="وب">{{استشهاد ويب
 |عنوان=Gudermannian
 |لغة= en
@@ سطر 1٬070: / سطر 1٬070: @@
 يمكن كتابة بعض [[دوال خاصة|الدوال الخاصة]] بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.
-* [[دالة بيسل]] من الرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:
+* [[دالة بيسل]] من المرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:
 :<math>x^2 y''+xy'+(x^2-a^2)y=0</math>
-حيث يمثل a الرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) بدلالة الدوال المثلثية على النحو التالي:<ref>{{استشهاد مختصر|Árpád|2010|ص=14|لغة=en}}</ref>
+حيث يمثل a المرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) بدلالة الدوال المثلثية على النحو التالي:<ref>{{استشهاد مختصر|Árpád|2010|ص=14|لغة=en}}</ref>
 :<math>J_{1/2} = \sqrt \frac{2}{\pi x} \sin x </math>
@@ سطر 1٬083: / سطر 1٬083: @@
 :<math> (1-x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0 </math>
-مع n ممثلةً للرتبة.
+مع n ممثلةً للمرتبة.
-يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من الرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:<ref>{{استشهاد مختصر|NIST|1952|ص=V|لغة=en}}</ref>
+يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من المرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:<ref>{{استشهاد مختصر|NIST|1952|ص=V|لغة=en}}</ref>
 T<sub>n</sub> = cos(n.arccos(x))
@@ سطر 1٬157: / سطر 1٬157: @@
 مع <math>\ \alpha=\angle(\vec b, \vec c) ,\; \beta=\angle(\vec a,\vec c) ,\; \gamma=\angle(\vec a,\vec b) </math> وa,b,c هي أطوال [[حافة (هندسة)|الأحرف]].
-=== علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد العقدية ===
+=== علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد المركبة ===
-[[ملف:Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_3.svg|تصغير|(5.ب) تمثيل عدد عقدي على المستوي العقدي|بديل=]]
+[[ملف:Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_3.svg|تصغير|(5.ب) تمثيل عدد مركب على المستوي المركب|بديل=]]
-* يمكن كتابة أي [[عدد مركب|عدد عقدي]] على الشكل المثلثي:
+* يمكن كتابة أي [[عدد مركب]] على الشكل المثلثي:
-:z = |z| (cosθ + isinθ) و|z| هو [[معيار عدد مركب|معيار العدد العقدي]]، وi هي [[وحدة تخيلية]] مربعها يساوي واحد.
+:z = |z| (cosθ + isinθ) و|z| هو [[معيار عدد مركب|القيمة المطلقة للعدد المركب]]، وi هي [[وحدة تخيلية]] مربعها يساوي واحد.
 يطلق على العلاقة بين [[دالة أسية|الدالة الأسية]] والدوال المثلثية اسم [[صيغة أويلر]]:
@@ سطر 1٬199: / سطر 1٬199: @@
 :<math> \cos\theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \;</math>
-* يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية العقدية. رياضيا:
+* يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية المركبة. رياضيا:
 :<math>\cos \theta = \operatorname{Re}(e^{i \theta})</math>
@@ سطر 1٬224: / سطر 1٬224: @@
 حساب المثلثات هو أساس معظم ممارسات [[علم رسم الخرائط|رسم الخرائط]] و[[مساحة (علم)|المساحة]]. قياس زاوية باستخدام [[مساحة (علم)#أجهزة المساحة|الجهاز]] أو دون استخدامه، [[إسقاط الخرائط]] (تحويل [[سطح ناقصي مرجعي|سطح ناقصي]] إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب [[اتجاه زاوي|الاتجاه الزاوي]]، و[[مسح اجتيازي|المسح الاجتيازي]] المفتوح والمغلق،<ref group="ملاحظة">المسح الاجتيازي هو طريقة لمسح منطقة مفتوحة أو مغلقة باستخدام قياس الزوايا والمسافات.</ref> وتصميم الأقواس في إنشاء الطرقات، وتحويل ثنائي الأبعاد في [[مسح جوي|المسح الجوي]].
-على سبيل المثال، في [[تثليث (تقنية)|التثليث]]، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستخدم هذا المبدأ حاليًا في {{وإو|تر=3D reconstruction|عر=القياس البصري ثلاثي الأبعاد}}. يُستخدَم في التثليث قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.
+على سبيل المثال، في [[تثليث (تقنية)|التثليث]]، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستخدم هذا المبدأ حاليًا في {{وإو|تر=3D reconstruction|4=القياس البصري الثلاثي الأبعاد|عر=إعادة بناء ثلاثي الأبعاد}}. يُستخدَم في التثليث قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.
 في الحالة المبينة في الشكل (5.ج)، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:
@@ سطر 1٬253: / سطر 1٬253: @@
 :<math>F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt </math>
-تُحوّل الدالة الأسية العقدية إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل [[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]] مثل [[معادلة موجية|معادلة الموجة]] [[محلل طيف|والتحليل الطيفي]] [[معالجة الإشارة|ومعالجة الإشارات]].<ref name="م7">{{استشهاد مختصر|Folland|2009|ص=77|لغة=en}}</ref>
+تُحوّل الدالة الأسية المركبة إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل [[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]] مثل [[معادلة موجية|معادلة الموجة]] [[محلل طيف|والتحليل الطيفي]] [[معالجة الإشارة|ومعالجة الإشارات]].<ref name="م7">{{استشهاد مختصر|Folland|2009|ص=77|لغة=en}}</ref>
 يستخدم [[تحويل جيب التمام المتقطع]] القريب من تحويل فورييه لتقليل [[حجم ملف]] [[جيه بيه إي جي|JPEG]] في أثناء التخزين مع الحفاظ على الجودة النسبية ([[ضغط صورة|ضغط الصور]])، هذا التحويل هو تقنية تمثل البيانات على شكل مجاميع دوال جيب التمام.<ref>{{استشهاد مختصر|Smith|1997|ص=481|لغة=en}}</ref>
@@ سطر 1٬260: / سطر 1٬260: @@
 [[ملف:Synthesis_square.gif|يسار|تصغير|350x350بك|(5.هـ) صورة متحركة ل[[موجة مربعة|موجة مربعية]] مع عدد متزايد من التوافقيات]]
-الدوال المثلثية مهمة أيضا في [[فيزياء|الفيزياء]]. على سبيل المثال، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف [[حركة توافقية بسيطة|الحركة التوافقية البسيطة]]، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة [[نابض|بنابض]]، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، الحركة [[رقاص|الرقاصية]] لكتلة معلقة بواسطة خيط؛<ref>{{استشهاد مختصر|Tenenbaum|1985|ص=314|لغة=en}}</ref> وفي ال[[كهرباء]] وال[[إلكترونيات]]، تستخدم الدالتان الأخيرتان لدراسة [[دائرة كهربائية|الدارات الكهربائية]] مثل [[دائرة الرنين التوافقي|دارة مقاومة وملف ومكثف]] المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد [[حركة دائرية|لحركة دائرية]] منتظمة.<ref>{{استشهاد مختصر|Moebs|2016|ص=172|لغة=en}}</ref>
+الدوال المثلثية مهمة أيضا في [[فيزياء|الفيزياء]]. على سبيل المثال، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف [[حركة توافقية بسيطة|الحركة التوافقية البسيطة]]، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة [[نابض|بنابض]] ({{وإو|نواس مرن|Elastic pendulum}})، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، حركة كتلة معلقة بواسطة خيط ([[نواس بسيط]])؛<ref>{{استشهاد مختصر|Tenenbaum|1985|ص=314|لغة=en}}</ref> وفي ال[[كهرباء]] وال[[إلكترونيات]]، تستخدم الدالتان الأخيرتان لدراسة [[دائرة كهربائية|الدارات الكهربائية]] مثل [[دائرة مقاومة وملف ومكثف|دارة مقاومة وملف ومكثف]] المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد [[حركة دائرية|لحركة دائرية]] منتظمة.<ref>{{استشهاد مختصر|Moebs|2016|ص=172|لغة=en}}</ref>
 تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو [[موجة|الموجات]] الضوئية.
@@ سطر 1٬402: / سطر 1٬402: @@
 ال[[قبلة]] هي وجهة المصلي عند [[الصلاة في الإسلام|الصلاة]] وهي عند المسلمين [[الكعبة]] المشرفة في مدينة [[مكة]].
-يتم تطبيق نموذج [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] لحساب ال[[قبلة]] باستخدام حساب المثلثات الكروية، وهو العلم الذي برع فيه العلماء المسلمين قديمًا واستقر العمل في تحديد القبلة عليه. في الشكل التالي، يشكل موقع المصلي O و[[الكعبة]] Q والقطب الشمالي N مثلثًا على الكرة الأرضية. يُشار إلى القبلة بـ OQ، وهي اتجاه [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] التي تشمل النقطتين O و Q. يمكن أيضًا التعبير عن القبلة كالزاوية ∠NOQ (أو ∠q للقبلة بالنسبة للشمال، وتسمى أيضًا «إنحراف القبلة». يمكن حساب هذه الزاوية كدالة رياضية لخط عرض موقع المصلي Φ، وخط عرض الكعبة Φ<sub>Q</sub>، والفرق بين خطي طول الموقعين المذكورين سابقًا ΔL، هذه الدالة مستمدة من [[حساب المثلثات الكروية#صيغ ظل التمام للأجزاء الأربعة للمثلث|قاعدة ظل التمام]] التي تنطبق على أي مثلث كروي ذات الزوايا A وB وC والجوانب a وb وc:
+يتم تطبيق نموذج [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] لحساب ال[[قبلة]] باستخدام حساب المثلثات الكروية، وهو العلم الذي برع فيه العلماء المسلمين قديمًا واستقر العمل في تحديد القبلة عليه. في الشكل التالي، يشكل موقع المصلي O و[[الكعبة]] Q والقطب الشمالي N مثلثًا على الكرة الأرضية. يُشار إلى القبلة بـ OQ، وهي اتجاه [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] التي تشمل النقطتين O و Q. يمكن أيضًا التعبير عن القبلة كالزاوية ∠NOQ (أو ∠q للقبلة بالنسبة للشمال، وتسمى أيضًا «إنحراف القبلة». يمكن حساب هذه الزاوية كدالة رياضية لخط عرض موقع المصلي Φ، وخط عرض الكعبة Φ<sub>Q</sub>، والفرق بين خطي طول الموقعين المذكورين سابقًا ΔL،<ref name=":0" /> هذه الدالة مستمدة من [[حساب المثلثات الكروية#صيغ ظل التمام للأجزاء الأربعة للمثلث|قاعدة ظل التمام]] التي تنطبق على أي مثلث كروي ذات الزوايا A وB وC والجوانب a وb وc:
 <math>\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a - \cot B \,\sin C</math>
@@ سطر 1٬408: / سطر 1٬408: @@
 بتطبيق هذه الصيغة على المثلث الكروي NOQ (بتعويض B = ∠q = ∠NOQ) وبتطبيق [[حساب المثلثات الكروية#المتطابقات|المتطابقات المثلثية]]، يكون:
-<math>\cot q = \frac{\sin \Phi \cos \Delta L - \cos \Phi \tan \Phi_Q}{\sin \Delta L}</math> ، ومنه يكون: <br />
+<math>\cot q = \frac{\sin \Phi \cos \Delta L - \cos \Phi \tan \Phi_Q}{\sin \Delta L}</math> ، ومنه يكون:<ref name=":0">{{استشهاد مختصر|King|1986|ص=83|لغة=en}}</ref> <br />
 <math>q = \cot^{-1} \frac{\sin \Phi \cos \Delta L - \cos \Phi \tan \Phi_Q}{\sin \Delta L}</math>
@@ سطر 1٬445: / سطر 1٬445: @@
 |إحداثي x/إحداثي سيني
 |Abscissa
+|-
+|قيمة مطلقة لعدد مركب
+|Absolute value of complex number
 |-
 |زاوية حادة
@@ سطر 1٬531: / سطر 1٬534: @@
 |Complementary angles
 |-
-|تحليل عقدي/مركب
+|تحليل مركب
 |Complex analysis
 |-
-|عدد عقدي/مركب
+|عدد مركب
 |Complex number
 |-
-|مستوي عقدي/مركب
+|مستوي مركب
 |Complex plane
 |-
@@ سطر 1٬682: / سطر 1٬685: @@
 |Higher-end Processors
 |-
-|دالة تامة الشكل
+|دالة تامة التشكل
 |Holomorphic function
 |-
@@ سطر 1٬775: / سطر 1٬778: @@
 |Magnitude
 |-
-|معيار عدد عقدي
+|دالة جزئية التشكل
-|Magnitude of a complex number
-|-
-|دالة ميرومورفية
 |Meromorphic function
 |-
@@ سطر 2٬180: / سطر 2٬180: @@
 * {{استشهاد بويكي بيانات|Q121863124|مرجع=Oppenheim2008}}
 * {{استشهاد بويكي بيانات|Q121916112|مرجع=Maor2002}}
+* {{EI2|volume=5|title=Ḳibla: Astronomical Aspects |page=|first=David A.|last=King||url=}}
 {{نهاية المراجع}}
 ;تقارير ومقالات ودوريات محكمة