متسلسلة (رياضيات)

في الرياضيات، المتسلسلة أو السلسلة (بالإنجليزية: Series)‏ هي مجموع لمتتالية من الحدود حيث قد تكون هذه الحدود أعداداً أو دالات.

$S_n=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$

يتم توليد حدود المتسلسلة عادة من خلال قاعدة معينة أو صيغة رياضية أو خوارزمية أو تعاقب من القياسات أو حتى بواسطة توليد الأعداد العشوائية مثلا. عندما يكون هناك حدود لانهائية فإن المتسلسلة تدعى متسلسلة لانهائية. على عكس المجاميع المنتهية، تحتاج المتسلسلات لفهم وتخطيط بعض أدوات التحليل الرياضي.

خصائص أساسية

يمكن لحدود السلسلة أن تتألف من أي من المجموعات المختلفة بما فيها الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة والدوال. التعريف المستعمل هنا سيكون للأعداد الحقيقية ولكنه قابل للتعميم.

بدلالة تعاقب لانهائي من الأعداد الحقيقية تعرف { a_n }

$S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_N.$

تدعى S_N المجموع الجزئي لـ N من التتابعات { a_n }, أو المجموع الجزئي للسلسلة . سلسلة تعاقب مجاميع جزئية, { S_N }.

اختبارات التقارب

المقالة الرئيسية: اختبارات تقارب متسلسلة

هناك عدة اختبارات لمعرفة فيما إذا كانت المتسلسة متقاربة أو متباعدة. من هذه الطرق ما يلي:

• اختبار الحد النوني : إذا توفر lim_n→∞ a_n ≠ 0 فإن المتسلسلة تتباعد.
• اختبار الكثافة لكوشي
• طريقة دالمبير.
• اختبار النسبة
• اختبار الجذر
• اختبار المتسلسلة المتناوبة

انظر إلى تقارب مطلق وإلى اختبار دِيني.

متسلسلات الدوال

المقالة الرئيسية: متسلسلة دوال

متسلسلة القوى

المقالة الرئيسية: متسلسلة قوى

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n.$

متسلسلة لورنت

المقالة الرئيسية: متسلسلة لورنت

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n.$

متسلسلة دركليه

المقالة الرئيسية: متسلسلة دركليه

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

متسلسلة مثلثية

المقالة الرئيسية: متسلسلة مثلثية

متسلسلة مثلثية مي متسلسلة دوال حيث الحدود هي دوال مثلثية.

$\frac{1}{2}{A}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx).$

أهم مثال على المتسلسلات المثلثية متسلسلة فورييه.

تاريخ نظرية المتسلسلات غير المنتهية

تطور المتسلسلات غير المنتهية

عالم الرياضيات الإغريقي أرخميدس أبدع أول مجموع غير منته معروف. انظر إلى طريقة الاستنفاد.

تعميمات

المتسلسلة المتباعدة

المقالة الرئيسية: متسلسلة متباعدة

المتسلسلات في فضاء بناخ

انظر إلى فضاء باناخ.

انظر أيضًا

• متسلسلة قوى
• متسلسلة تايلور
• متسلسلة فورييه
• متسلسلة ماكلورن
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·