نصف قطر التقارب

في الرياضيات، نصف قطر التقارب (بالإنجليزية: Radius of Convergence)‏ لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة، وهو إما عدد حقيقي غير سالب أو ∞.

وفقًا لمبرهنة كوشي-هادامار، تعطى نصف قطر تقارب متسلسلة من الشكل $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$، مع $a_n,x,x_0\in \mathbb{ℝ}$، بواسطة العبارة التالية:

$\frac{1}{r}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}$

إذا كان نصف قطر تقارب متسلسلة دالة هو ما لا نهاية، يمكن أن تمدد الدالة إلى دالة كاملة.

أمثلة

من أبسط الأمثلة هو نصف قطر تقارب متسلسلة القوى للدالة الأسية:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

نحسب نصف قطر التقارب:

$\begin{array}{ll}\frac{1}{r}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{1}{(n+1)!}\right|÷\left|\frac{1}{n!}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{n!}{(n+1)n!}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{1}{n+1}\right|\\ & =0\end{array}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو $\mathrm{\infty }$.

• نعتبر متسلسلة ماكلورين للدالة $\ln (1+x)$:

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ,$

نحسب نصف قطر تقاربه:

$\begin{array}{ll}\frac{1}{r}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{(-1{)}^n}{n+1}\right|÷\left|\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{(-1{)}^n}{n+1}\right|\times \left|\frac{n}{(-1{)}^{n-1}}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{(-1{)}^n}{n+1}\right|\times \left|\frac{-n}{(-1{)}^n}\right|\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{-n}{n+1}\right|\\ & =1\end{array}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو $r=1$.