دالة غودرمانية

دالة غودرمانية
التمثيل البياني للدالة الغودرمانية التمثيل البياني للدالة الغودرمانية
تدوين	$\mathrm{g}\mathrm{d}x$
تعريف الدالة	$\mathrm{g}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}t\mathrm{d}t$
دالة عكسية	$\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sec t\mathrm{d}t=\ln |\tan x+\sec x|$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$\mathbb{R}$
المجال المقابل	$]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
نهاية الدالة عند +∞	$\frac{\pi }{2}$
نهاية الدالة عند -∞	$-\frac{\pi }{2}$
خطوط مقاربة	$y=\frac{\pi }{2}$ و $y=-\frac{\pi }{2}$
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0

تربط الدالة الغودرمانية أو دالة غودرمان، التي سميت على اسم كريستوف غودرمان (1798–1852)، الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون استخدام الأعداد المركبة.

تعرّف بـ :

$\mathrm{g}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}t\mathrm{d}t.$

الخصائص

التعريفات البديلة

$\begin{array}{rr}\mathrm{g}\mathrm{d}x& =\arcsin (\tanh x)=\arctan (\sinh x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}(\coth x)\\ [6pt]& =\mathrm{sgn}x)\arccos (\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x)=\mathrm{sgn}x)\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\cosh x)\\ [6pt]& =2\arctan (\tanh \frac{x}{2})\\ [6pt]& =2\arctan (e^x)-\frac{\pi }{2}=-i\ln (\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x+i\tanh x)\\ [6pt]& =-\frac{i}{2}\ln (\frac{1+i\sinh x}{1-i\sinh x})=-i\ln (\frac{1+i\sinh x}{\cosh x})\\ [6pt]& =-i\ln (\frac{1+i\tanh \frac{x}{2}}{1-i\tanh \frac{x}{2}})=-i\ln (i\tanh (\frac{x}{2}-\frac{i\pi }{4})).\end{array}$

بعض المتطابقات

$\begin{array}{rrrr}\sin (\mathrm{g}\mathrm{d}x)& =\tanh x;& \csc (\mathrm{g}\mathrm{d}x)& =\coth x;\\ [6pt]\cos (\mathrm{g}\mathrm{d}x)& =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x;& \sec (\mathrm{g}\mathrm{d}x)& =\cosh x;\\ [6pt]\tan (\mathrm{g}\mathrm{d}x)& =\sinh x;& \cot (\mathrm{g}\mathrm{d}x)& =\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x;\\ [6pt]\tan (\frac{\mathrm{g}\mathrm{d}x}{2})& =\tanh \frac{x}{2}.\end{array}$

الدالة العكسية

رسم بياني لمعكوس دالة غودرمانية

$\begin{array}{rr}\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sec t\mathrm{d}t\text{ for }-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\\ [8pt]& =\ln \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|=\ln \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|\\ [8pt]& =\ln |\tan x+\sec x|=\ln \left|\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})\right|\\ [8pt]& =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\sin x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\tan x)\\ [6pt]& =2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\tan \frac{x}{2})\\ [6pt]& =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(\csc x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(\cot x)\\ [6pt]& =\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\sec x)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(\cos x)\\ [6pt]& =-i\mathrm{g}\mathrm{d}(ix).\end{array}$

بعض المتطابقات

$\begin{array}{rrrr}\sinh (\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x)& =\tan x;& \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x)& =\cot x;\\ [6pt]\cosh (\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x)& =\sec x;& \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x)& =\cos x;\\ [6pt]\tanh (\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x)& =\sin x;& \coth (\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x)& =\csc x.\end{array}$

المشتقات

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{g}\mathrm{d}x=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{d}}{\mathrm{g}}x=\sec x.$

أنظر أيضا

• دوال زائدية عكسية
• إسقاط مركاتور
• منحنى متساوي المماسات
• قائمة المطابقات المثلثية