قائمة المتطابقات المثلثية

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
الجيوب وجيوب التمام حول دائرة الوحدة

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.[1]

ملاحظات

  • لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.
الدالة الدالة العكسية المقلوب معكوس المقلوب
جيب الزاوية sin قوس جيب الزاوية arcsin قاطع تمام الزاوية csc قوس قاطع تمام الزاوية arccsc
جيب تمام الزاوية cos قوس جيب تمام الزاوية arccos قاطع الزاوية sec قوس قاطع الزاوية arcsec
ظل الزاوية tan قوس ظل الزاوية arctan ظل تمام الزاوية cot قوس ظل تمام الزاوية arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

الدرجات 30 45 60 90 120 180 270 360
الراديان π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 π 3π/2 2π
غراد 33 ⅓ 50 66 ⅔ 100 133 ⅓ 200 300 400

علاقات أساسية

متطابقة فيثاغورس المثلثية sin2θ+cos2θ=1
متطابقة النسبة tanθ=sinθcosθ
كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.
الدالة (sinθ) (cosθ) (tanθ) (cscθ) (secθ) (cotθ)
sinθ= sinθ ±1cos2θ ±tanθ1+tan2θ 1cscθ ±sec2θ1secθ ±11+cot2θ
cosθ= ±1sin2θ cosθ ±11+tan2θ ±csc2θ1cscθ 1secθ ±cotθ1+cot2θ
tanθ= ±sinθ1sin2θ ±1cos2θcosθ tanθ ±1csc2θ1 ±sec2θ1 1cotθ
cscθ= 1sinθ ±11cos2θ ±1+tan2θtanθ cscθ ±secθsec2θ1 ±1+cot2θ
secθ= ±11sin2θ
1cosθ ±1+tan2θ ±cscθcsc2θ1 secθ ±1+cot2θcotθ
cotθ= ±1sin2θsinθ ±cosθ1cos2θ 1tanθ ±csc2θ1 ±1sec2θ1 cotθ

التطابق، والإزاحة والدورية

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

انعكاس في θ=0 انعكاس في θ=π/2
(متطابقة مساعدة)
انعكاس في θ=π
sin(θ)=sinθcos(θ)=+cosθtan(θ)=tanθcsc(θ)=cscθsec(θ)=+secθcot(θ)=cotθ sin(π2θ)=+cosθcos(π2θ)=+sinθtan(π2θ)=+cotθcsc(π2θ)=+secθsec(π2θ)=+cscθcot(π2θ)=+tanθ sin(πθ)=+sinθcos(πθ)=cosθtan(πθ)=tanθcsc(πθ)=+cscθsec(πθ)=secθcot(πθ)=cotθ

الإزاحة والدورية

θ مزاحة بمقدار π/2 θ مزاحة بمقدار π θ مزاحة بمقدار 2π
sin(θ+π2)=+cosθcos(θ+π2)=sinθtan(θ+π2)=cotθcsc(θ+π2)=+secθsec(θ+π2)=cscθcot(θ+π2)=tanθ sin(θ+π)=sinθcos(θ+π)=cosθtan(θ+π)=+tanθcsc(θ+π)=cscθsec(θ+π)=secθcot(θ+π)=+cotθ sin(θ+2π)=+sinθcos(θ+2π)=+cosθtan(θ+2π)=+tanθcsc(θ+2π)=+cscθsec(θ+2π)=+secθcot(θ+2π)=+cotθ

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

الجيب sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
جيب التمام cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ
الظل tan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ
قوس الجيب arcsinα±arcsinβ=arcsin(α1β2±β1α2)
قوس جيب التمام arccosα±arccosβ=arccos(αβ(1α2)(1β2))
قوس الظل arctanα±arctanβ=arctan(α±β1αβ)

شكل المصفوفة

[cosαsinαsinαcosα][cosβsinβsinβcosβ]=[cos(α+β)sin(α+β)sin(α+β)cos(α+β)].

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

sin(i=1θi)=oddk1(1)(k1)/2A{1,2,3,}|A|=k(iAsinθii∉Acosθi)
cos(i=1θi)=evenk0(1)k/2A{1,2,3,}|A|=k(iAsinθii∉Acosθi)

ظلال مجاميع حدود محدودة

tan(θ1++θn)=e1e3+e5e0e2+e4,

مثال:

tan(θ1+θ2+θ3)=e1e3e0e2=(x1+x2+x3)(x1x2x3)1(x1x2+x1x3+x2x3),tan(θ1+θ2+θ3+θ4)=e1e3e0e2+e4=(x1+x2+x3+x4)(x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)1(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)+(x1x2x3x4),

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة

sec(θ1++θn)=secθ1secθne0e2+e4

مثلا,

sec(α+β+γ)=secαsecβsecγ1tanαtanβtanαtanγtanβtanγ.

صيغ الزوايا المتعددة

Tn هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n cosnθ=Tn(cosθ)  
صيغة دي موافر، i هي وحدة تخيلية cosnθ+isinnθ=(cos(θ)+isin(θ))n    
1+2cos(x)+2cos(2x)+2cos(3x)++2cos(nx)=sin((n+12)x)sin(x/2).

صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا

أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس [English]

صيغ ضعف زاوية

sin(2θ)=2sinθcosθ=2tanθ1+tan2θ
cos(2θ)=cos2θsin2θ=2cos2θ1=12sin2θ=1tan2θ1+tan2θ
tan(2θ)=2tanθ1tan2θ
cot(2θ)=cot2θ12cotθ
sec(2θ)=sec2θ2sec2θ
csc(2θ)=secθcscθ2

صيغ ثلاثة أضعاف زاوية

sin(3θ)=3sinθ4sin3θ=4sinθsin(π3θ)sin(π3+θ)
cos(3θ)=4cos3θ3cosθ=4cosθcos(π3θ)cos(π3+θ)
tan(3θ)=3tanθtan3θ13tan2θ=tanθtan(π3θ)tan(π3+θ)
cot(3θ)=3cotθcot3θ13cot2θ
sec(3θ)=sec3θ43sec2θ
csc(3θ)=csc3θ3csc2θ4

صيغ نصف زاوية

sinθ2=sgn(2πθ+4πθ4π)1cosθ2

حيث sgnx=±1 و f(x) هي دالة الجزء الصحيح.

sin2θ2=1cosθ2
cosθ2=sgn(π+θ+4ππθ4π)1+cosθ2
cos2θ2=1+cosθ2
tanθ2=cscθcotθ=±1cosθ1+cosθ=sinθ1+cosθ=1cosθsinθ=1±1+tan2θtanθ=tanθ1+secθ
cotθ2=cscθ+cotθ=±1+cosθ1cosθ=sinθ1cosθ=1+cosθsinθ

[2][3]

أيضا: tanη+θ2=sinη+sinθcosη+cosθ

tan(θ2+π4)=secθ+tanθ
1sinθ1+sinθ=|1tanθ2||1+tanθ2|

جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة

sinnθ=k=0n(nk)coskθsinnkθsin(12(nk)π)
cosnθ=k=0n(nk)coskθsinnkθcos(12(nk)π)
tan(n+1)θ=tannθ+tanθ1tannθtanθ.
cot(n+1)θ=cotnθcotθ1cotnθ+cotθ.

ظل المتوسط

tan(α+β2)=sinα+sinβcosα+cosβ=cosαcosβsinαsinβ

جداء Viète اللانهائي

cos(θ2)cos(θ4)cos(θ8)=n=1cos(θ2n)=sin(θ)θ=sincθ.

حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري وهي تكافئ sinc(x)=sin(x)x

صيغ اختصار الأس

جيب جيب التمام أخرى
sin2θ=1cos2θ2 cos2θ=1+cos2θ2 sin2θcos2θ=1cos4θ8
sin3θ=3sinθsin3θ4 cos3θ=3cosθ+cos3θ4 sin3θcos3θ=3sin2θsin6θ32
sin4θ=34cos2θ+cos4θ8 cos4θ=3+4cos2θ+cos4θ8 sin4θcos4θ=34cos4θ+cos8θ128
sin5θ=10sinθ5sin3θ+sin5θ16 cos5θ=10cosθ+5cos3θ+cos5θ16 sin5θcos5θ=10sin2θ5sin6θ+sin10θ512
جيب التمام جيب
إذا كان n فردي cosnθ=22nk=0n12(nk)cos((n2k)θ) sinnθ=22nk=0n12(1)(n12k)(nk)sin((n2k)θ)
إذا كان n زوجي cosnθ=12n(nn2)+22nk=0n21(nk)cos((n2k)θ) sinnθ=12n(nn2)+22nk=0n21(1)(n2k)(nk)cos((n2k)θ)

متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس

من الجداء إلى المجموع
cosθcosφ=cos(θφ)+cos(θ+φ)2
sinθsinφ=cos(θφ)cos(θ+φ)2
sinθcosφ=sin(θ+φ)+sin(θφ)2
cosθsinφ=sin(θ+φ)sin(θφ)2
من المجموع/الفرق إلى الجداء
sinθ±sinφ=2sin(θ±φ2)cos(θφ2)
cosθ+cosφ=2cos(θ+φ2)cos(θφ2)
cosθcosφ=2sin(θ+φ2)sin(θφ2)

متطابقات أخرى ذات صلة

إذا كانت x+y+z=π تساوي نصف دائرة، فإن:
tan(x)+tan(y)+tan(z)=tan(x)tan(y)tan(z)
و sin(2x)+sin(2y)+sin(2z)=4sin(x)sin(y)sin(z)

مبرهنة بطليموس

إذا كانت w+x+y+z=π تساوي نصف دائرة، فإن:
sin(w+x)sin(x+y)=sin(x+y)sin(y+z)=sin(y+z)sin(z+w)=sin(z+w)sin(w+x)=sin(w)sin(y)+sin(x)sin(z).

مركبات خطية

asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)

حيث:φ={arcsin(ba2+b2)a0,πarcsin(ba2+b2)a<0,

أو:φ=arctan(ba)+{0a0,πa<0.

asinx+bsin(x+α)=csin(x+β)

حيث:c=a2+b2+2abcosα,

و:β=arctan(bsinαa+bcosα)+{0a+bcosα0,πa+bcosα<0.

مجاميع أخرى للدوال المثلثية

sinφ+sin(φ+α)+sin(φ+2α)++sin(φ+nα)=sin((n+1)α2)sin(φ+nα2)sinα2.
cosφ+cos(φ+α)+cos(φ+2α)++cos(φ+nα)=sin((n+1)α2)cos(φ+nα2)sinα2.
acos(x)+bsin(x)=a2+b2cos(xatan2(b,a))
tan(x)+sec(x)=tan(x2+π4).
cot(x)cot(y)+cot(y)cot(z)+cot(z)cot(x)=1.

تحويلات كسرية خطية معينة

f(x)=(cosα)xsinα(sinα)x+cosα,

وبالمثل: g(x)=(cosβ)xsinβ(sinβ)x+cosβ,

وعليه: f(g(x))=g(f(x))=(cos(α+β))xsin(α+β)(sin(α+β))x+cos(α+β).

fαfβ=fα+β.

الدوال المثلثية العكسية

arcsin(x)+arccos(x)=π/2
arctan(x)+arccot(x)=π/2.
arctan(x)+arctan(1/x)={π/2,x>0π/2,x<0

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

sin[arccos(x)]=1x2 tan[arcsin(x)]=x1x2
sin[arctan(x)]=x1+x2 tan[arccos(x)]=1x2x
cos[arctan(x)]=11+x2 cot[arcsin(x)]=1x2x
cos[arcsin(x)]=1x2 cot[arccos(x)]=x1x2

علاقة بالأس المركب

eix=cos(x)+isin(x) (صيغة أويلر),
eix=cos(x)+isin(x)=cos(x)isin(x)
eiπ=1
cos(x)=eix+eix2
sin(x)=eixeix2i
tan(x)=eixeixi(eix+eix)=sin(x)cos(x)

حيث i2=1.

صيغ الجداء اللانهائي

sinx=xn=1(1x2π2n2)
sinhx=xn=1(1+x2π2n2)
sinxx=n=1cos(x2n)

cosx=n=1(1x2π2(n12)2)
coshx=n=1(1+x2π2(n12)2)

المتطابقات الخالية من المتغيرات

cos20cos40cos80=18
j=0k1cos(2jx)=sin(2kx)2ksin(x).
cosπ7cos2π7cos3π7=18,
sin20sin40sin80=38.
cos24+cos48+cos96+cos168=12.
cos(2π21)+cos(22π21)+cos(42π21)
+cos(52π21)+cos(82π21)+cos(102π21)=12.

حساب π

π4=4arctan15arctan1239
π4=5arctan17+2arctan379.

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

sin0=sin0=/2=cos90=cos(π2)sin(π6)=sin30=/2=cos60=cos(π3)sin(π4)=sin45=/2=cos45=cos(π4)sin(π3)=sin60=/2=cos30=cos(π6)sin(π2)=sin90=/2=cos0=cos0

قيم أخرى شيقة

sinπ7=767189j=0(3j+1)!189jj!(2j+2)!
sinπ18=16j=0(3j)!27jj!(2j+1)!

بـالنسبة الذهبية φ:

cos(π5)=cos36=5+14=φ/2
sin(π10)=sin18=514=φ12=12φ

التفاضل والتكامل

في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

limx0sinxx=1,

محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

limx01cosxx=0

محققة باستخدام هذه المتطابقة tan x/2 = 1 − cos x/sin x. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن (sin x)′ = cos x و (cos x)′ = −sin x. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

ddxsinx=cosx

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

ddxsinx=cosx,ddxarcsinx=11x2ddxcosx=sinx,ddxarccosx=11x2ddxtanx=sec2x,ddxarctanx=11+x2ddxcotx=csc2x,ddxarccotx=11+x2ddxsecx=tanxsecx,ddxarcsecx=1|x|x21ddxcscx=cscxcotx,ddxarccscx=1|x|x21

يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

dua2u2=sin1(ua)+C
dua2+u2=1atan1(ua)+C
duuu2a2=1asec1|ua|+C

تعاريف أسية

الدالة الدالة المعكوسة
sinθ=eiθeiθ2i arcsinx=iln(ix+1x2)
cosθ=eiθ+eiθ2 arccosx=iln(x+x21)
tanθ=eiθeiθi(eiθ+eiθ) arctanx=i2ln(i+xix)
cscθ=2ieiθeiθ arccscx=iln(ix+11x2)
secθ=2eiθ+eiθ arcsecx=iln(1x+1ix2)
cotθ=i(eiθ+eiθ)eiθeiθ arccotx=i2ln(xix+i)
cisθ=eiθ arccisx=lnxi

متفرقات

نواة ديراك

1+2cos(x)+2cos(2x)+2cos(3x)++2cos(nx)=sin[(n+12)x]sin(x2).

تعويض ظل نصف الزاوية

إذا وضعنا t=tan(x2) :

sin(x)=2t1+t2 و cos(x)=1t21+t2 و eix=1+it1it .

انظر أيضًا

مراجع

  1. ^ ملخصات ايزي شوم
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  3. ^ إيريك ويستاين، Half-Angle Formulas، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).