صيغة دي موافر

منح أبراهام دي موافر اسمه للصيغة.

في الرياضيات، صيغة دي موافر (بالإنجليزية: De Moivre's formula)‏، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر

$exp(ix)=\cos (x)+i\sin (x)$

البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي

يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل n > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي:${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos (kx)+i\sin (kx).$

وبدراسة الحالة n = k + 1:

$\begin{array}{rr}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =[\cos (kx)+i\sin (kx)](\cos x+i\sin x)& & \text{(1)}\\ & =\cos (kx)\cos x-\sin (kx)\sin x+i[\cos (kx)\sin x+\sin (kx)\cos x]\\ & =\cos [(k+1)x]+i\sin [(k+1)x]& & \text{(2)}\end{array}$

العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية. وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، n≥1.

إذا كانت n = 0 تظل الصيغة $\cos (0x)+i\sin (0x)=1+i0=1$ صحيحة، ومن المعروف أن $z^0=1$.

إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي:$\begin{array}{rr}{(\cos x+i\sin x)}^n& ={(\cos x+i\sin x)}^{-m}\\ & =\frac{1}{{(\cos x+i\sin x)}^m}\\ & =\frac{1}{(\cos mx+i\sin mx)}\\ & =\cos (mx)-i\sin (mx)\\ & =\cos (-mx)+i\sin (-mx)\\ & =\cos (nx)+i\sin (nx).\end{array}$

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.

استخدامات صيغة دي موافر

تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:

$z^n=r^n(\cos (nx)+\mathrm{i}\sin (nx))$

و كذلك للحصول على أشكال (cos(nx و (sin(nx بدلالة (sin(x و (cos(x.

على سبيل المثال، للحصول على (cos(2x و (sin(2x، ساوي:

$(\cos (x)+\mathrm{i}\sin (x){)}^2=\cos (2x)+\mathrm{i}\sin (2x)$.

لدينا:

${\cos }^2(x)+2\cos (x)\sin (x)\mathrm{i}-{\sin }^2(x)=\cos (2x)+\mathrm{i}\sin (2x)$.

ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$

$\sin (2x)=2\cos (x)\sin (x)$.

حدوديات تشيبيشيف

بافنوتي تشيبيشيف

المقالة الرئيسية: متعددات الحدود لشيبيشيف

صيغة دي موافر تعطي:

$\cos (nx)+\mathrm{i}\sin (nx)={(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^n=\sum _{p=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}){\cos }^{n-p}(x){\mathrm{i}}^p{\sin }^p(x)$.

بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:

$\cos (nx)=T_n(\cos x)$

حيث T_n حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.

$T_n(X)={\sum }_{0\le 2k\le n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})(-1{)}^k{X}^{n-2k}(1-X^2{)}^k$.

المراجع

• قاموس رياضيات عربي-انجليزي-فرنسي-الجزء الثاني- إهداء الأستاذ إبراهيم الاحمدي (بتصرف).