مثلث متساوي الأضلاع

مثلث متساوي الأضلاع

مثلث متساوي الأضلاع.

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle)‏ هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول. وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس وقياس كل منهما °60.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

خصائص أساسية

• كل المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.
• الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف الضلع المتعلق به.
• المتوسط في المثلث المتساوي الأضلاع عمودي على الضلع الذي ينصفه.
• يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني.
• AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD :ABC ارتفاع $\iff$ AD متوسط $\iff$ AD منصف للزاوية A.
• P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P :ABC مركز قائم $\iff$ P نقطة وسطى $\iff$ P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.

طول الارتفاع

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

البرهان:

إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع ABC ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

$a^2=A{H}^2+(\frac{a}{2}{)}^2$

$\Rightarrow A{H}^2=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

وهو المطلوب إثباته.

المساحة

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:

$Area=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

البرهان:

مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة

مساحة المثلث = ½ $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ × $a$

$\Leftarrow$ مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

مبرهنات مهمة

• تنص مبرهنة مورلي على أنه في أي مثلث، النقط الثلاث حيث يلتقي مثلِّثات الزوايا المتحادية تُكون مثلثا متساوي الأضلاع.
• مبرهنة نابليون
• مبرهنة فيفياني
• مبرهنة بومبي
• تنص صيغة لمتباينة المحيط الثابت تخص المثلثات، أن المثلث ذا المساحة القصوى عندما يكون المحيط ثابتا هو المثلث المتساوي الأضلاع.

خصائص أخرى

مثلث متساوي الأضلاع، أطوال أضلاعه متساوية (a=b=c)، وقياسات زواياه متساوية ($\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }$) وارتفاعاته متساوية (h_a=h_b=h_c).

بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:

• طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2h}{3}$
• طول نصف قطر الدائرة الداخلية هو: $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{R}{2}=\frac{h}{3}$
• حسب مبرهنة أويلر، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
• المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
• نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي: $\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
• نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي $\frac{1}{12\sqrt{3}}$، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

الإنشاء الهندسي

مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.

انظر أيضاً

• مثلث
• مبرهنة فيفياني
• مبرهنة فيثاغورس
• مثلثات قائمة خاصة
• قوانين مساحة المثلث

وصلات خارجية

إيريك ويستاين، إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).