قوانين مساحة المثلث

في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½×طول القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث ويقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،

و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث وعرضه ارتفاع المثلث.

و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.

قوانين المساحة للمثلث

القانون الأول

المثلث ABC.

يربط بين مساحة المثلث وبين جيب إحدى زواياه.

$\underset{\_}{Are{a}_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C}$

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

$\Rightarrow SinC=\frac{AN}{b}$

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

$\Rightarrow AN=b\sin C$

$Are{a}_{ABC}=\frac{1}{2}a.AN=\frac{1}{2}ab\sin C$

القانون الثاني

دائرة محيطة بالمثلث

يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

$\underset{\_}{Are{a}_{ABC}=\frac{abc}{4R}}$

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

$\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow sinC=\frac{c}{2R}$

$Are{a}_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}$

القانون الثالث

دائرة داخلية في المثلث ABC

يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

$\underset{\_}{Are{a}_{ABC}=rs}$

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

$Are{a}_{ABC}=Are{a}_{BPC}+Are{a}_{APC}+Are{a}_{APB}$

باستخدام «المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع» ثلاث مرات:

$Are{a}_{ABC}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr$

$\Rightarrow Are{a}_{ABC}=r\frac{a+b+c}{2}=rs$

القانون الرابع

يعرف بصيغة هيرو:

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:

$\underset{\_}{Are{a}_{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

حيث أن s نصف محيط المثلث.

القانون الخامس

يعرف بصيغة جيوشاو:

$\underset{\_}{Are{a}_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{c}^2-{(\frac{a^2+c^2-b^2}{2})}^2}}$

القانون السادس

مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة: المساحة = (1 / 4) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]

اقرأ أيضاً

• مثلث
• صيغة هيرو
• ارتفاع المثلث
• قانون الجيب
• دائرة محيطة