دوال خاصة

الدوال الخاصة (بالإنجليزية: Special Functions)‏ هي مجموعة من الدوال التحليلية غير الابتدائية، والتي ظهرت في القرن التاسع عشر كحل لمعادلات في الفيزياء الرياضية، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية والرابعة.^[1]^[2]

قائمة الدوال الخاصة

تكاملات أويلر: دالة بيتا، دالة غاما والدوال المرتبطة بها، دالة ديغاما (Digamma) ، دالة غاما غير مكتملة ، دالة بوليغاما (Polygamma). تدخل في حساب التكامل، في دراسة المتسلسلات وفي حساب الاحتمالات.
دالة الخطأ: تستخدم في حساب الاحتمالات والفيزياء الإحصائية، ومتغيراتها (erfi ، دالة Dawson ،... إلخ ).
دالة التكامل اللوغاريتمي: تظهر في توزيع الأعداد الأولية.
تكامل مثلثي
- الجيب الجوهري (Sinc) والجيب التكاملي لـ Fresnel: ظهرا في دراسة الحيود . أظهر إدموند تايلور ويتاكر أن دالة Sinc تلعب دورًا رئيسيًا في نظرية الاستيفاء على شبكة من النقاط المتساوية.
دالة Airy: التي أدخلت خلال دراسة تشتت الضوء.
التكاملات الإهليلجية: الناتجة عن دراسة التذبذبات التوافقية ذات السعة الكبيرة.
دوال Legendre: والتي هي الحلول الأساسية لمعادلة لابلاس على الكرة.
دالة Bessel: والتي هي الحلول الأساسية لمعادلة لابلاس على الاسطوانة الدائرية.
دالة Hankel: حل خاص لمعادلة الأمواج في الإحداثيات الأسطوانية.
دالة زيتا لريمان
الدوال فوق الهندسية (Hypergeometric) ، التي تربط عدة دوال خاصة مع بعضها البعض بواسطة المعادلات الدالية.
دوال Mathieu : ظهرت في دراسة اهتزازات الغشاء الإهليلجي والإشعاع الكهرومغناطيسي.
دالة ثيتا ، والتي تعبر عن تكامل إهليلجي.
متعدد اللوغاريتمات