دالة بيتا

في الرياضيات، دالة بيتا (بالإنجليزية: Beta function)‏، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t

لكل $Re (x), Re (y) > 0 .$

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه.^[1]^[2] يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائص

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:

B (x, y) = B (y, x) .

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

B (x, y) = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

B (x, y) = \frac{(x - 1)! (y - 1)!}{(x + y - 1)!}

حيث (Gamma (x تساوي (x-1)! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :

B (x, y) = 2 \int_{0}^{π / 2} (\sin θ)^{2 x - 1} (\cos θ)^{2 y - 1} d θ, R e (x) > 0, R e (y) > 0

B (x, y) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{x - 1}}{(1 + t)^{x + y}} d t, R e (x) > 0, R e (y) > 0

B (x, y) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\binom{n - y}{n})}{x + n},

B (x, y) = \frac{x + y}{x y} \prod_{n = 1}^{\infty} {(1 + \frac{x y}{n (x + y + n)})}^{- 1},

B (x, y) \cdot (t \mapsto t_{+}^{x + y - 1}) = (t \to t_{+}^{x - 1}) * (t \to t_{+}^{y - 1}) x \geq 1, y \geq 1,

B (x, y) \cdot B (x + y, 1 - y) = \frac{π}{x \sin (π y)},

العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما

لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

Γ (x) Γ (y) = \int_{0}^{\infty} e^{- u} u^{x - 1} d u \int_{0}^{\infty} e^{- v} v^{y - 1} d v = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{- u - v} u^{x - 1} v^{y - 1} d u d v .

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:

\int_{z = 0}^{\infty} \int_{t = 0}^{1} e^{- z} (z t)^{x - 1} (z (1 - t))^{y - 1} z d t d z = \int_{z = 0}^{\infty} e^{- z} z^{x + y - 1} d z \int_{t = 0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t .

من أجل حساب هذا التكامل المزدوج والقيام بهذا التغيير للمتغير، انظر إلى مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية. ومن ثم،

Γ (x) Γ (y) = Γ (x + y) B (x, y) .

المشتقات

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

\frac{\partial}{\partial x} B (x, y) = B (x, y) (\frac{Γ^{'} (x)}{Γ (x)} - \frac{Γ^{'} (x + y)}{Γ (x + y)}) = B (x, y) (ψ (x) - ψ (x + y)),

حيث $ψ (x)$ هي دالة ثنائي غاما

التكاملات

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

B (x, y) \sim \sqrt{2 π} \frac{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}}}{{(x + y)}^{x + y - \frac{1}{2}}}

وذلك لكل من x و y كبيرين، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

B (x, y) \sim Γ (y) x^{- y} .