أساليب رونج-كوتا

أساليب رونج - كوتا للحل العددي للمعادلة التفاضلية.

$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$

والتي تأخذ شكل:$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{k}_i$

$k_1=f(t_n,y_n)$

$k_2=f(t_n+c_{2}h,y_n+h(a_{21}{k}_1))$

$k_3=f(t_n+c_{3}h,y_n+h(a_{31}{k}_1+a_{32}{k}_2))$

$k_i=f(t_n+c_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}{k}_j)$

طرق معاملات طريقة رونج-كوتا للحل العددي المعادلات التفاضلية كما يلي

$\overline{)\begin{array}{ccccc}{c}_1& a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2& a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2s}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_s& a_{s1}& a_{s2}& \dots & a_{ss}\\ & b_1& b_2& \dots & b_s\\ \end{array}}$

أساليب صريحة

الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:

$\overline{)\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1/2& 1/2& 0\\ & 0& 1\\ \end{array}}$

طريقة هيون

طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):

$\overline{)\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ & 1/2& 1/2\\ \end{array}}$

طريقة رالستون

طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:

$\overline{)\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2/3& 2/3& 0\\ & 1/4& 3/4\\ \end{array}}$

طريقة عامة من الدرجة الثانية

$\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ x& x& 0\\ & 1-\frac{1}{2x}& \\ \end{array}$

طريقة كوتا الثالثة

$\overline{)\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1/2& 1/2& 0& 0\\ 1& -1& 2& 0\\ & 1/6& 2/3& 1/6\\ \end{array}}$

طريقة الترتيب الرابع التقليدية

وهي الطريقة «الأصلية» لطريقة رونج-كوتا.

$\overline{)\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1/2& 1/2& 0& 0& 0\\ 1/2& 0& 1/2& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& 0\\ & 1/6& 1/3& 1/3& 1/6\\ \end{array}}$

3/8 قاعدة طريقة الترتيب الرابع

هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم اقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).

$\overline{)\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1/3& 1/3& 0& 0& 0\\ 2/3& -1/3& 1& 0& 0\\ 1& 1& -1& 1& 0\\ & 1/8& 3/8& 3/8& 1/8\\ \end{array}}$

أساليب ضمنية

تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لاقتطاع طريقة رونج-كوتا، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( ص ) والثانية مع النظام (ص-1).

يتم إعطاء خطوة أقل من قبل:$y_{n+1}^{*}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i^{*}{k}_i,$

$e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^s(b_i-b_i^{*})k_i,$

$\overline{)\begin{array}{ccccc}{c}_1& a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2& a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2s}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_s& a_{s1}& a_{s2}& \dots & a_{ss}\\ & b_1& b_2& \dots & b_s\\ & b_1^{*}& b_2^{*}& \dots & b_s^{*}\\ \end{array}}$

طريقة هيون-يولر

أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي:

$\overline{)\begin{array}{cc}0& \\ 1& 1\\ & 1/2& 1/2\\ & 1& 0\end{array}}$

يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.

طريقة فلبرج RK1

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 1 و 2 :

	0
	1/2	1/2
	1	1/256	255/256
		1/256	255/256	0
		1/512	255/256	1/512

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة بوجاكي - شامبين

طريقة بوجاكي - شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3 :

	0
	1/2	1/2
	3/4	0	3/4
	1	2/9	1/3	4/9
		2/9	1/3	4/9	0
		7/24	1/4	1/3	1/8

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة فلبرج

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5 :

	0
	1/4	1/4
	3/8	3/32	9/32
	12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
	1	439/216	−8	3680/513	−845/4104
	1/2	-8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
		16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
		25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

طريقة كاش - كارب

طريقة كاش - كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج:

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	3/5	3/10	−9/10	6/5
	1	−11/54	5/2	−70/27	35/27
	7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
		37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
		2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

طريقة دورمند-برنس

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	4/5	44/45	−56/15	32/9
	8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	−212/729
	1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	−5103/18656
	1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84
		35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84	0
		5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

الطرق الضمنية

باكورد يولر

هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.

$\overline{)\begin{array}{cc}1& 1\\ & 1\\ \end{array}}$

نقطة الوسط الضمنية

وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس.

$\overline{)\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ & 1\end{array}}$

طرق غاوس-ليجندر

وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}& & -\frac{\sqrt{3}}{6}\\ +\frac{\sqrt{3}}{6}& +\frac{\sqrt{3}}{6}& \\ & & \\ & +\frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \end{array}$

مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:

$\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{10}& & -\frac{\sqrt{15}}{15}& -\frac{\sqrt{15}}{30}\\ & +\frac{\sqrt{15}}{24}& & -\frac{\sqrt{15}}{24}\\ +\frac{\sqrt{15}}{10}& +\frac{\sqrt{15}}{30}& +\frac{\sqrt{15}}{15}& \\ & & & \\ & -\frac{5}{6}& & -\frac{5}{6}\end{array}$

طرق لوباتو

هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي:

1. طريقة لوباتو IIIA : هي عبارة عن طريقة التجميع وتعرف باسم المعادلات التفاضلية :

معادلة من نوع أمر 2:

$\overline{)\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1/2& 1/2\\ & 1/2& 1/2\\ & 1& 0\\ \end{array}}$

معادلة من نوع أمر 4:

$\overline{)\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1/2& 5/24& 1/3& -1/24\\ 1& 1/6& 2/3& 1/6\\ & 1/6& 2/3& 1/6\\ & -\frac{1}{2}& 2& -\frac{1}{2}\\ \end{array}}$

2. طريقة لوباتو IIIB :

وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

$\overline{)\begin{array}{ccc}0& 1/2& 0\\ 1& 1/2& 0\\ & 1/2& 1/2\\ & 1& 0\\ \end{array}}$

معادلة من نوع أمر 4:

$\overline{)\begin{array}{cccc}0& 1/6& -1/6& 0\\ 1/2& 1/6& 1/3& 0\\ 1& 1/6& 5/6& 0\\ & 1/6& 2/3& 1/6\\ & -\frac{1}{2}& 2& -\frac{1}{2}\\ \end{array}}$

3. طريقة لوباتو IIIC :

وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

$\overline{)\begin{array}{ccc}0& 1/2& -1/2\\ 1& 1/2& 1/2\\ & 1/2& 1/2\\ & 1& 0\\ \end{array}}$

معادلة من نوع أمر 4:

$\overline{)\begin{array}{cccc}0& 1/6& -1/3& 1/6\\ 1/2& 1/6& 5/12& -1/12\\ 1& 1/6& 2/3& 1/6\\ & 1/6& 2/3& 1/6\\ & -\frac{1}{2}& 2& -\frac{1}{2}\\ \end{array}}$

طرق رادو

طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي:

1. طريقة رادو IA : وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر

معادلة من نوع أمر 3:

$\overline{)\begin{array}{ccc}0& 1/4& -1/4\\ 2/3& 1/4& 5/12\\ & 1/4& 3/4\\ \end{array}}$

معادلة من نوع أمر 5:

$\begin{array}{cccc}0& & & \\ -\frac{\sqrt{6}}{10}& & +\frac{7\sqrt{6}}{360}& -\frac{43\sqrt{6}}{360}\\ +\frac{\sqrt{6}}{10}& & +\frac{43\sqrt{6}}{360}& -\frac{7\sqrt{6}}{360}\\ & & +\frac{\sqrt{6}}{36}& -\frac{\sqrt{6}}{36}\\ \end{array}$

2. طريقة رادو IIA : وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر

معادلة من نوع أمر 3:

$\overline{)\begin{array}{ccc}1/3& 5/12& -1/12\\ 1& 3/4& 1/4\\ & 3/4& 1/4\\ \end{array}}$