اشتقاق (أمثلة)

  لمعانٍ أخرى، طالع اشتقاق (توضيح).

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أمثلة عملية للتدريب على الإشتقاق..

مثال 1

لنعتبر $f(x)=5$:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{5-5}{h}=0$

حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

$f^{\prime }(5)=0$

مثال 2

لنعتبر $f(x)=2x-3$:

$f^{\prime }(4)$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{8+2h-3-8+3}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2h}{h}=2$

حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

$f^{\prime }(x)=2x-3$

$f(x)=2-0$$f^{\prime }(x)=2+0$

$f(x)(4)+2$$f^{\prime }(4)=2$

مثال 3

لنعتبر $f(x)=x^2$ :

$f^{\prime }(x)$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2xh+h^2}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}(2x+h)=2x$

حل اخر باستخدام قواعد المشتقة

$f^{\prime }(x)=2x$

مثال 4

لنعتبر $f(x)=\sqrt{x}$ :

$f^{\prime }(x)$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

$f^{\prime }(x)=x^{1/2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

مثال 5

$f^{″}(x)$ $=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+h}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x+h}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x+h}}-\frac{2\sqrt{x+h}}{2\sqrt{x}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}-\frac{x+h}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{-h}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{-1}{2\sqrt{x}(x+h)+2x\sqrt{x+h}}$

$=\frac{-1}{4x\sqrt{x}}$

$=\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

مثال 6

لنعتبر $f(x)=e^{xsi{n}^{2}x}$ :

$f^{\prime }(x)=e^{xsi{n}^{2}x}(xsi{n}^{2}x{)}^{\prime }=e^{xsi{n}^{2}x}(si{n}^{2}x+2xsinxcosx)$

مثال 7

لنعتبر $f(x)=arcsin\frac{1+x}{1-x}$ :

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1+x}{1-x}{)}^2}}(\frac{1+x}{1-x}{)}^{\prime }=\frac{1}{(1-x)\sqrt{-x}}$

مثال 8

لنعتبر $f(x)=(x+\sin x)$ :

$f^{\prime }(x)=1+\cos x$