تكامل معتل

ملف:Improperintegral2.png

النوع الأول من التكامل المعتل، حالة الفترة غير المحدودة.

ملف:Improperintegral1.png

النوع الثاني من التكامل المعتل، حالة الدالة غير المحدودة.

التكامل المعتل أو التكامل الموسع، الصيغة الأساسية بأن يكون على أحد الشكلين التاليين:

$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,$

أو

$\underset{c\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,\underset{c\to a^{+}}{\lim }\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,$.

التكامل المعتل حالة الفترة غير المحدودة

إذا كان لدينا تكامل الدالة $1/x^2$ على الفترة [1, ∞) وهي فتره غير محدوده، فهذا يكون تكامل معتل، ونستخدم الطريقة التالية لحله

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1})=1.$

نستخدم Lim أو نهاية b إلى مالا نهايه، ونحول فترة التكامل من 1 إلى b ونكامل بالطريقة العادية وفي حال كانت الإجابة رقم ثابت فهو تكامل تقاربي، أما إن كانت الإجابة موجب أو سالب مالا نهايه فالتكامل تباعدي.

حالة فترة غير المحدودة (-∞,∞)

لدينا تكامل معتل على الفترة (-∞,∞)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

نقوم بتجزيئة إلى فترتين (-∞,0) و (0,∞) لينتج لدينا تكاملين منفصلين لنفس الدالة

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

ثم نستخدم طريقة حل التكامل المعتل لكل فترة على حده

$\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{0}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ =

التكامل المعتل حالة الدالة غير المحدودة

باعتبار c هو عدد ثابت تكون الدالة غير معرفه عنده

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

يكون حل التكامل على الشكل

$\underset{b\to c^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

مثال

لدينا 0 هنا هو c في الشرح السابق حيث تكون الدالة غير معرفه عنده 0

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }(2\sqrt{1}-2\sqrt{a})=2.$

ونلاحظ علامة + فوق الصفر، لأن التكامل غير معرف عند أو تحت الصفر ولكنه معرف عند أي رقم آخر أكبر من 0

مصادر

راجع كتاب مبادئ التفاضل والتكامل الجزء الثاني، د.صالح السنوسي وآخرون، جامعة الملك سعود بالرياض، دار الخريجي للنشر والتوزيع