عدد برنولي

عدد برنولي

في الرياضيات، أعداد بيرنولي B_n هي متسلسلة من الأعداد الكسرية ذات العلاقة الوثيقة بنظرية الأعداد. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي:

B₀ = 1, B₁ = ±¹⁄₂, B₂ = ¹⁄₆, B₃ = 0, B₄ = −¹⁄₃₀, B₅ = 0, B₆ = ¹⁄₄₂, B₇ = 0, B₈ = −¹⁄₃₀.

عندما يستعمل اصطلاح B₁=−¹⁄₂، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح B₁=+¹⁄₂، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن B_n=0 مهما كان n فرديا وأكبر قطعا من الواحد. وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة B_n بدلا من B_2n.

تظهر أعداد بيرنولي في نشر متسلسلة تايلور لدوال ظل الزاوية والظل الزائدي وفي صيغ مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى، مرفوعة إلى قوة ما (ما يعرف بصيغة فاولهابر)، وفي صيغة أويلر-ماكلورين وفي تعابير لبعض قيم دالة زيتا لريمان.

اكتُشفت هذه الأعداد من طرف عالم الرياضيات السويسري جاكوب بيرنولي, الذي سميت نسبة إليه، وفي الوقت نفسه تقريبا، وبصفة مستقلة عنه، من طرف عالم الرياضيات الياباني سيكي كاوا. نشر اكتشاف سيكي عام 1712 في عمله Katsuyo Sampo; وكان ذلك بعد وفاته. ونُشر اكتشاف بيرنولي في عام 1713. وكان ذلك بعد وفاته أيضا.

رغم أن أعداد بيرنولي سهلة الحساب، فإن قيمها ليس لها أي وصف أولي: فهي قيم دالة زيتا لريمان عند أعداد صحيحة سالبة.

في الملاحظة G لعالمة الرياضيات آدا لوفلايس عن المحرك التحليلي في عام 1842, تصف لوفلايس خوارزمية لتوليد أعداد بيرنولي باستخدام آلة بابيج. ونتيجة لذلك، تصير أعداد بيرنولي موضوع أول برنامج حاسوب كُتب.

التاريخ

تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.

أحد صفحات Katsuyo Sampo (1712) لسيكي كاوا, مجدولة معاملات ذات الحدين وأعداد بيرنولي

عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى، ولكن لم تكن هنالك «صيغ» حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.

من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة فيثاغورث(حوالي 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، وأرخميدس (287–212 ق.م، إيطاليا) واريابهاتا (476 ق.م., الهند) والكرخي (1019 م، البصرة) والحسن بن الهيثم (965 م، في البصرة -. 1039, م في القاهرة).

لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، ويوهان فاولهابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.

بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة. كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B₀, B₁, B₂, ... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى (Knuth 1993). قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى من طرف سيكي كاوا في اليابان. بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.

المتعة التي أحس بها جاكوب بيرنولي حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى c لأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب:

بفضل هذا الجدول، استغرقت من الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن مجموع القوى العاشرة لألف عدد الأولى يساوي:

91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.

تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح أبراهام دي موافر.

نسبة إلى (Knuth 1993)، نُشر أول برهان متماسك لصيغة فاولهابر لأول مرة في عام 1834، نشره عالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.

مجموع القوى

المقالة الرئيسية: صيغة فاولهابر

تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:

$S_m(n)=\sum _{k=1}^n{k}^m=1^m+2^m+\cdots +n^m$

هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m + 1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:

$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k{n}^{m+1-k},$

العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B₁ = +1/2. ($(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})$ يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)

لتكن n ≥ 0. بجعل m مساوية ل 0 وB₀ = 1 تعطي أعداد طبيعية 0, 1, 2, 3, ….

$0+1+1+\cdots +1=\frac{1}{1}(B_{0}n)=n.$

بجعل m مساوية ل 1 وB₁ = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0, 1, 3, 6,  وهكذا.

$0+1+2+\cdots +n=\frac{1}{2}(B_0{n}^2+2B_1{n}^1)=\frac{1}{2}(n^2+n).$

بجعل m مساوية ل 2 وB₂ = 1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0, 1, 5, 14,  وهكذا.

$0+1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{1}{3}(B_0{n}^3+3B_1{n}^2+3B_2{n}^1)=\frac{1}{3}(n^3+\frac{3}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n).$

مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:

$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k{n}^{m+1-k}$

لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B₁ = −1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.

يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.

عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).

تعاريف

تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:

• استدعاء ذاتي،
• صيغة صريحة،
• دالة توالدية
• وصف خوارزمي.

لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل(Ireland & Rosen 1990) أو (Conway & Guy 1996).

لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B₁ = 1/2, some يضع المؤلفون B₁ = −1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل). لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.

تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتي

تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما: $\begin{array}{rr}{B}_m(n)& =n^m-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k(n)}{m-k+1}\\ B_0(n)& =1\end{array}$

تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية B_m(n) لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 0, m ≥ 0. 0⁰ التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B₀(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n = 0 على الترتيب n = 1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير  n.

n = 0	n = 1
$B_m={\delta }_{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k}{m-k+1}$	$B_m=1-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k}{m-k+1}$

التعبير هنا ${\delta }_{m,0}$ يحمل القيمة 1 إذا كان m = 0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم دلتا كرونكر. عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة B_m(0) في الحالة الأولى وB_m(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.

التعريف الصريح

في عام 1893، نشر لويس سالشوتز ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي ((Saalschütz 1893)):

$\begin{array}{rr}{B}_m^{-}& =\sum _{k=0}^m\sum _{v=0}^k(-1{)}^v(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{v})\frac{v^m}{k+1}\\ B_m^{+}& =\sum _{k=0}^m\sum _{v=0}^k(-1{)}^v(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{v})\frac{(v+1{)}^m}{k+1}.\end{array}$

دالة التوليد

تعرف الدالة المولدة لمتسلسلة برنولي كما يلي:

تقود الخيارات n = 0 وn = 1 إلى.

n = 0	n = 1
$\frac{t}{e^t-1}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$	$\frac{t}{1-e^{-t}}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$

وصف الخوارزمية

بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.

حساب أعداد برنولي بكفاءة

من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB₀ حتى B_p − 3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p² سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p (log p)²) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).

يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب B_n متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء B_n عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n² log(n) ^2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب B_n لقيم n = 10⁸ وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر (Kellner 2002) حسب B_n لأعلى دقة لقيم n = 10⁶ في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n = 10⁷ بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.

تاريخ حساب أعداد بيرنولي

الحاسب	السنة	n	المراتب*
ياكوب بيرنولي	~1689	10	1
ليونهارد أويلر	1748	30	8
J.C. Adams	1878	62	36
D.E. Knuth, T.J. Buckholtz	1967	360	478
G. Fee, S. Plouffe	1996	10000	27677
G. Fee, S. Plouffe	1996	100000	376755
B.C. Kellner	2002	1000000	4767529
O. Pavlyk	2008	10000000	57675260
D. Harvey	2008	100000000	676752569

• المراتب ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب B(n) كعدد حقيقي في العلامة العلمية الموحدة.

وجهات نظر واصطلاحات مختلفة

يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:

• كائنات رياضياتية قائمة بذاتها،
• كائنات توافقياتية
• قيما لمتعددات حدود متعاقبة،
• قيما من دالة ريمان-زيتا.

تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.

• أعداد بيرنولي كائنات قائمة بذاتها.

تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...

هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.

• أعداد بيرنولي كائنات توافقياتية.

تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.

${(\frac{z{e}^z}{e^z-1})}^x=x{\sum }_{n\ge 0}{\sigma }_n(x)z^n$

وبشكل متعاقب B_n = n! σ_n(1) for n ≥ 0.

• أعداد برنولي قيما لمتعددات حدود متعاقبة.

المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.

يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين: 

Bn = Bn(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,.... 

Bn = Bn(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

يختلف التعريفان فقط في إشارة B1. الخيار Bn = Bn(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - Handbook of Mathematical Functions.

• أعداد بيرنولي قيما لدالة زيتا لريمان

التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

أعداد برنولي كما تصفها دالة زيتا لريمان.

يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح B_n = B_n(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B₁ متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.

$B_n=n!{\sigma }_n(1)=B_n(1)=-n\zeta (1-n)(n\ge 0)$

تطبيقات عدد بيرنولي

متسلسلة تايلور لدالتي tan و tanh

$\begin{array}{rr}\tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \tanh x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\end{array}$

التعريفات التوافقية

العلاقة بالأعداد الأويلرية

انظر إلى عدد أويلري.

علاقته بأعداد أويلر وπ

أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.

$\pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n})\frac{B_{2n}}{E_{2n}}.$

نظرة خواريزمية: مثلث سيدل

انظر إلى فيليب فون لوديش سيدل.

Seidel's algorithm for T_n

الخصائص الحسابية لأعداد برنولي

مبرهنات كومر

ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:

إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي B₂, B₄, ..., B_p−3، إذا، فإن المعادلة x^p + y^p + z^p = 0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.

الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية.

لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟

المجموع:${\phi }_k(n)=\sum _{i=0}^n{i}^k-\frac{n^k}{2}$ يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.

الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي : $\frac{t}{e^t-1}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$

$\frac{t}{e^t-1}=B_0+B_1\frac{t^1}{1!}+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$

$\frac{t}{e^t-1}=1-\frac{t}{2}+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$

$\frac{t}{e^t-1}+\frac{t}{2}=1+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$

بتوحيد المقامات في الجانب الأيسر: $\frac{t(e^t+1)}{2(e^t-1)}=1+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$

الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية. $f(x)=\frac{t(e^t+1)}{2(e^t-1)}=f(-x)$

بتعويض x ب -x، نجد ما يلي: $B_m\frac{t^m}{m!}=B_m\frac{(-t{)}^m}{m!}$

من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم $B_m$ عندما يكون المؤشر $m$ فرديا.

إعادة لصياغة نص فرضية ريمان

الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:

ملحق

قيم أعداد بيرنولي الأولى

n	البسط	المقام	التقدير العشري
0	1	1	+1.00000000000
1	−1	2	−0.50000000000
2	1	6	+0.16666666667
4	−1	30	−0.03333333333
6	1	42	+0.02380952381
8	−1	30	−0.03333333333
10	5	66	+0.07575757576
12	−691	2730	−0.25311355311
14	7	6	+1.16666666667
16	−3617	510	−7.09215686275
18	43867	798	+54.9711779448
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت	قالب:OEIS link	قالب:OEIS link

إنظر أيضا

• صيغة فاولهابر
• صيغة أويلر-ماكلورين
• كثيرة حدود لاغرانج
• عدد جينوتشي

مراجع

• Abramowitz، M.؛ Stegun، C. A. (1972)، "§23.1: Bernoulli and أويلر Polynomials and the أويلر-Maclaurin Formula"، Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ط. 9th printing)، New York: Dover، ص. 804–806.
• André، D. (1879)، "Développements de sec x et tan x."، Comptes Rendus Acad. Sci.، ج. 88، ص. 965–967.
• André، D. (1881)، "Mémoire sur les permutations alternées"، J. Math.، ج. 7، ص. 167–184.
• Arlettaz، D. (1998)، "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie"، Math. Semesterber، ج. 45، ص. 61–75، DOI:10.1007/s005910050037.
• Arnold، V. I. (1991)، "Bernoulli-أويلر updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics"، Duke Math. J.، ج. 63، ص. 537–555.
• Ayoub، A. (1981)، "أويلر and the Zeta Function"، Amer. Math. Monthly، ج. 74، ص. 1067–1086.
• Buhler، J.؛ Crandall، R.؛ Ernvall، R.؛ Metsankyla، T.؛ Shokrollahi، M. (2001)، "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million"، Journal of Symbolic Computation، ج. 31، ص. 89–96، DOI:10.1006/jsco.1999.1011 {{استشهاد}}: استعمال الخط المائل أو الغليظ غير مسموح: |صحيفة= (مساعدة).
• Carlitz، L. (1968)، "Bernoulli Numbers."، Fib. Quart.، ج. 6، ص. 71–85.
• Clausen، Thomas (1840)، "Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen"، Astr. Nachr.، ج. 17، ص. 351–352.
• Conway، John؛ Guy (1996)، The Book of Numbers، Springer-Verlag {{استشهاد}}: الوسيط غير المعروف |firshttp://en.wikipedia.org/w/index.php?title= تم تجاهله (مساعدة) ويحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |unused_data= (مساعدة).
• Dilcher، K.؛ Skula، L.؛ Slavutskii، I. Sh. (1991)، "Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990)"، Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics، Kingston, Ontario، مؤرشف من الأصل في 2020-02-07
• Dumont، D.؛ Viennot، G. (1980)، "A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers"، Ann. Discrete Math.، ج. 6، ص. 77–87، DOI:10.1016/S0167-5060(08)70696-4.
• Dumont، D. (1981)، "Matrices d'أويلر-Seidel"، Séminaire Lotharingien de Combinatoire، مؤرشف من الأصل في 2016-03-04
• Elkies، N. D. (2003)، "On the sums Sum_(k=-infinity...infinity) (4k+1) (-n)"، Amer. Math. Monthly، ج. 110 (No. 7)، ص. 561–573، مؤرشف من الأصل في 2019-04-22
• Entringer، R. C. (1966)، "A combinatorial interpretation of the أويلر and Bernoulli numbers"، Nieuw. Arch. V. Wiskunde، ج. 14، ص. 241–6.
• von Ettingshausen، A. (1827)، Vorlesungen über die höhere Mathematik، Vienna: Carl Gerold، ج. Bd. 1.
• أويلر، ليونهارد (1735)، "De summis serierum reciprocarum"، Opera Omnia، ج. I.14, E 41, ، ص. 73–86{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link); On the sums of series of reciprocals, arXiv:math/0506415v2 (math.HO).
• Fee، G.؛ Plouffe، S. (2007)، An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers. arXiv:math/0702300v2 (math.NT)
• Graham، R. L.؛ Knuth، D. E.؛ Patashnik، O. (1989)، Concrete Mathematics، Addison-Wesley.
• Guo، Victor J. W.؛ Zeng، Jiang (2005)، "A q-Analogue of Faulhaber's Formula for Sums of Powers"، The Electronic Journal of Combinatorics، ج. 11(2)، مؤرشف من الأصل في 2012-02-24
• Harvey، David (2008)، A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers arXiv:0807.1347v2 math.NT
• Ireland، Kenneth؛ Rosen، Michael (1990)، A Classical Introduction to Modern Number Theory، Springer-Verlag
• Jacobi، C. G. J. (1834)، "De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae"، Journal für die reine und angewandte Mathematik، ج. 12، ص. 263–272
• Jordan، Charles (1950)، Calculus of Finite Differences، New York: Chelsea Publ. Co..
• Kaneko، M. (2000)، "The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers"، Journal of Integer Sequences، ج. 12، مؤرشف من الأصل في 2019-02-20.
• Kellner، Bernd (2002)، Program Calcbn – A program for calculating Bernoulli numbers، مؤرشف من الأصل في 2020-02-04.
• Knuth، D. E.؛ Buckholtz، T. J. (1967)، "Computation of Tangent, أويلر, and Bernoulli Numbers"، Mathematics of Computation، ج. 21، ص. 663–688، DOI:10.2307/2005010.
• Knuth، D. E. (1993)، "Johann Faulhaber and the Sums of Powers"، Mathematics of Computation، ج. 61، ص. 277–294 arXiv:math/9207222 (math.CA).
• Kummer، E. E. (1850)، "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen"، J. Reine Angew. Math.، ج. 40، ص. 131–138 DIGIZ.
• Kummer، E. E. (1851)، "Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen"، J. Reine Angew. Math.، ج. 41، ص. 368–372 DIGIZ.
• Luschny، Peter (2007)، An inclusion of the Bernoulli numbers، مؤرشف من الأصل في 2017-11-22
• Menabrea, L. F., "Sketch of the Analytic Engine invented by Charles Babbage, with notes upon the Memoir by the Translator Ada Augusta, Countess of Lovelace." Bibliothèque Universelle de Genève, October 1842, No. 82. http://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html
• Milnor، John W.؛ Stasheff، James D. (1974)، "Appendix B: Bernoulli Numbers"، Characteristic Classes، Annals of Mathematics Studies، Princeton University Press and University of Tokyo Press، ج. 76، ص. 281–287.
• قالب:Neukirch ANT
• Pavlyk، Oleksandr (2008)، Today We Broke the Bernoulli Record: From the Analytical Engine to Mathematica، Wolfram Blog، مؤرشف من الأصل في 2019-10-14.
• Riesz، M. (1916)، "Sur l'hypothèse de Riemann"، Acta Mathematica، ج. 40، ص. 185–90، DOI:10.1007/BF02418544.
• Saalschütz، Louis (1893)، Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen، Berlin، مؤرشف من الأصل في 2020-03-28 {{استشهاد}}: النص "publisherJulius Springer" تم تجاهله (مساعدة)صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)
• Seidel، L. (1877)، "Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen"، Sitzungsber. Münch. Akad.، ج. 4، ص. 157–187.
• Selin، Helaine (1997)، Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures، Springer، ص. 819، ISBN:0792340663.
• Slavutskii، Ilya Sh. (1995)، "Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers"، Historia Scientiarum، ج. 2، ص. 69–74.
• Smith، David Eugene؛ Mikami، Yoshio (1914)، A history of Japanese mathematics، Open Court publishing company، مؤرشف من الأصل في 2020-03-13.
• فون شتاوت، كارل جورج كريستيان (1840)، "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend"، Journal für die reine und angewandte Mathematik، ج. 21، ص. 372–374.
• فون شتاوت، كارل جورج كريستيان (1845)، "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram"، Erlangen.
• Sun، Zhi-Wei (2005/2006)، Some curious results on Bernoulli and أويلر polynomials، مؤرشف من الأصل في 2015-07-08 {{استشهاد}}: تحقق من التاريخ في: |سنة= (مساعدة).
• Woon، S. C. (1997)، "A tree for generating Bernoulli numbers"، Math. Mag.، ج. 70، ص. 51–56.
• Woon، S. C. (1998)، Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers، مؤرشف من الأصل في 2020-03-13
• Worpitzky، J. (1883)، "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen"، Journal für die reine und angewandte Mathematik، ج. 94، ص. 203–232|مسار= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002158698%7Cمسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20160210154535/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002158698%7Cتاريخ أرشيف=2016-02-10}}.