متسلسلة متداخلة

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات ، المتسلسة المتداخلة هي متسلسة، تكتب على شكل tn بحيث tn=anan+1 ، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية (an) .[بحاجة لمصدر]

نتيجة لذلك ، تتكون المجاميع الجزئية فقط من عبارتين من المتتالية (an) بعد أن يلغيا بعضهما.[1][2]

على سبيل المثال ، المتسلسلة :

n=11n(n+1)

(مجموع مقلوبات الأعداد البرونية ) يمكن أن تبسط كالآتي :

n=11n(n+1)=n=1(1n1n+1)=limNn=1N(1n1n+1)=limN[(112)+(1213)++(1N1N+1)]=limN[1+(12+12)+(13+13)++(1N+1N)1N+1]=limN[11N+1]=1.

تعميم

متسلسلة متداخلة من القوى

المجاميع المتداخلة هي مجاميع محدودة تلغي فيها العبارات المتتالية بعضها البعض ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.[3]

لتكن

an

متسلسلة من الأعداد. إذاً،

n=1N(anan1)=aNa0

إذا كانت

an0

، فإن :

n=1(anan1)=a0

الجداءات المتداخلة هي جداءات محدودة حيث تلغي العبارات المتتالية المقام بالبسط ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية. لتكن

an

متسلسلة من الأعداد. إذاً،

n=1Nan1an=a0aN

إذا كانت

an1

، فإن :

n=1an1an=a0

أمثلة أخرى

  • يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية كفرق بين مجموعة من العبارات ، مما يسمح بالإلغاء بين العبارات المتتالية.
n=1Nsin(n)=n=1N12csc(12)(2sin(12)sin(n))=12csc(12)n=1N(cos(2n12)cos(2n+12))=12csc(12)(cos(12)cos(2N+12)).
  • بعض المجاميع تحت الشكل الآتي :
n=1Nf(n)g(n)

بحيث

f

و

g

هم دوال متعددة الحدود يمكن تقسيم كسرهما إلى كسور جزئية ،  هذه الطريقة لا تستوفي الجمع. على وجه الخصوص :

n=02n+3(n+1)(n+2)=n=0(1n+1+1n+2)=(11+12)+(12+13)+(13+14)++(1n1+1n)+(1n+1n+1)+(1n+1+1n+2)+=.

المشكلة هي أنه هنا العبارات لا تلغي بعضها البعض.

مراجع

  1. ^ Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3
  2. ^ Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Telescoping Sum". MathWorld (بEnglish). Wolfram. Archived from the original on 2020-11-11.