دالة مولدة

في الرياضيات، دالة مولدة (بالإنجليزية: Generating function)‏ هي متسلسلة قوى شكلية بمتغير واحد معاملاتها تحتوي على تمثيل ضمني لمتتالية من الأعداد a_n .

قد تسمى الدالة المولدة المتسلسلةَ المولدةَ، مما يفسر تسميتها باللغة الفرنسية Série génératrice.

تعريفات

الدوال المولدة الاعتيادية

$G(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n.$

الدوال المولدة الأسية

الدالة المولدة الأسية لمتتالية a_n هي :

$\mathrm{E}\mathrm{G}(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{x^n}{n!}.$

الدوال المولدة الأسية أكثر نفعا من الدوال المولدة الاعتيادية عندما يتعلق الأمر بمعضلات مرتبطة بالتوافقيات.

الدوال المولدة لبواسون

انظر إلى سيميون بواسون.

$\mathrm{P}\mathrm{G}(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-x}\frac{x^n}{n!}=e^{-x}\mathrm{E}\mathrm{G}(a_n;x).$

أمثلة

المقالة الرئيسية: أمثلة عن الدوال المولدة

الدوال المولدة للمتتالية المتمثلة في مربعات الأعداد الطبيعية a_n = n² هن :

الدوال المولدة الاعتيادية

$G(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{x}^n=\frac{x(x+1)}{(1-x{)}^3}$

الدوال المولدة الأسية

$\mathrm{E}\mathrm{G}(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2{x}^n}{n!}=x(x+1)e^x$

تطبيقات

تستعمل الدوال المولدة من أجل :

• إيجاد التعبير مغلق الشكل لمتتالية معرفة بالاستدعاء الذاتي. أعداد فيبوناتشي مثالا.

انظر أيضا

• معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود