معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود

في الرياضيات، يمكن اعتبار متتالية متعددات حدود $\{p_n(z)\}$ نوعا من معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود إذا كانت الدالة المولدة كثيرة الحدود بالشكل التالي:

$K(z,w)=A(w)\mathrm{\Psi }(zg(w))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z)w^n$

حيث تكوين دالة التكوين أو كيرنيل $K(z,w)$ مكونه من السلسلة التالية:

$A(w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{w}^n$ with $a_0\ne 0$

و

$\mathrm{\Psi }(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_n{t}^n$ and all ${\mathrm{\Psi }}_n\ne 0$

و

$g(w)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_n{w}^n$ with $g_1\ne 0.$

وفقا للمعادلات السابقة، ليس من الصعب استنتاج $p_n(z)$ معادلة كثيرة الحدود من الدرجة $n$.

تعتبر متعددة الحدود بواس- باك فئة عامة أكثر قليلاً من كثيرات الحدود.

حالات خاصة

• إذا كان $g(w)=w$ تصبح المعادلة هي معادلة برنكي متعددة الحدود.
• إذا كان $\mathrm{\Psi }(t)=e^t$ تصبح معادلة هي معادلة نيوتن متعددة الحدود.
• إذا كان $g(w)=w$ و $\mathrm{\Psi }(t)=e^t$ تصبح المعادلة هي معادلة أبيل متعددة الحدود.

التمثيل الصريح

يمكن تمثيل معادلة أبيل كثيرة الحدود بالمعادلة التالية:

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n{z}^k{\mathrm{\Psi }}_k{h}_k.$

حيث:

$h_k={\sum }_P{a}_{j_0}{g}_{j_1}{g}_{j_2}\cdots g_{j_k}$

بما أن:

$j_0+j_1+\cdots +j_k=n.$

إذا:

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n\frac{a_{n-k}{z}^k}{k!}.$

انظر أيضا

• متتالية متعددات حدود
• دالة مولدة

وصلات خارجية

• معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود.
• شرح معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود- أكاديمية خان