نهاية دالة

x	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471
0.1	0.998334
0.01	0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

تعتبر نهاية أو غاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:

للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن $A\subset \mathbb{R}$, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل $\delta >0$ يوجد على الأقل نقطة واحدة $x\in \mathbb{A}$ حيث. $|x-y|<\delta$.

لتكن $A\subset \mathbb{R}$, و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد $\delta >0$ بحيث إذا كانت $x\in \mathbb{A}$ و $0<|x-c|<\delta$ إذاً $|f(z)-L|<ϵ$.

العلاقة بالإستمرارية (الإتصال)

كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.

خصائص

قاعدة التسلسل

$\underset{y\to d}{lim}f(y)=e$, و$\underset{x\to c}{lim}g(x)=d\Rightarrow \underset{x\to c}{lim}f(g(x))=e$

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد $\delta >0$ حيث إذا توفر $0<|x-c|<\delta$ فإن $|g(x)-d|>0$).

قاعدة لوبيتال

المقالة الرئيسية: قاعدة لوبيتال

الجمع والتكامل

نظرية

العدد $A\subset \mathbb{R}$ هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $(a_n)$ في A بحيث $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=c$ و $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:a_n\ne c$ .

مثال:

الفترة المفتوحة$A_1=(0,1)$ كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ$A_1$. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ $(A_1)$ لكنها لا تنتمي إلى

$(A_1)$. كل النقاط في $(A_1)$ هي نقاط تراكم ل $(A_1)$

1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:

$\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}f(x)=L$ إذا أعطي $ϵ$ جوار لـL

${\mathbf{V}}_{ϵ}(L)$ يوجد$\delta$ جوار لـ c 
${\mathbf{V}}_{\delta }(C)$ بحيث x≠c هي أي نقطة في ${\mathbf{V}}_{ϵ}(C)\cap \mathbf{A}$ إذاً$f(x)\in {\mathbf{V}}_{ϵ}(L)$

أمثلة

1) $\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}b=b$

الحل

أفترض f(x)=b, لكل$x\in \mathbb{R}$, نريد إثبات أن $\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}f(x)=b$ ، وإذا كان $ϵ>o$, نفترض $\delta =1$.

(في الحقيقة في أي $\delta$ موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),

إذا $0<|x-c|<1$ , ((الواحد تعويض عن $\delta$)) لدينا $|f(x)-b|=|b-b|=0<ϵ$ وبما أن $ϵ>0$أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية أن $\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}f(x)=b$

2) $\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}x=b$

الحل:

لتكن g(x)=x , لكل $x\in \mathbb{R}$ , إذا كان$ϵ>0$ نختار ${\delta }_{(ϵ)}=ϵ$ إذاًو إذا كانت

$0<|x-c|<{\delta }_{(ϵ)}$, يكون لدينا $|g(x)-c|=|x-c|<ϵ$, بما أن $ϵ>0$, نستنتج أن $\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}g=c$

مما يعني أن $\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}x=c$

نظرية [معيار المتتابعة

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

$(\underset{x\to \mathbf{c}}{lim}f=L)$

2/ لكل متتابعة $(x_n)$ في A تتقارب إلى c بحيث $x_n\ne c$ لكل $n\in \mathbb{N}$ , المتتابعه

$(x_n)$ تتقارب إلى L

معيار التباعد

لنفرض أن $A\subset \mathbb{R}$ ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت $l\in \mathbb{R}$ ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $x_n$ في A و$x_n\ne c$ لكل $n\in \mathbb{N}$ بحيث المتتابعة $x_n$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة

$(f(x_n))$ لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $x_n$ في A و

$x_n\ne c$ لكل $n\in \mathbb{N}$ بحيث المتتابعة $x_n$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

$(f(x_n))$ ليست تقاربية في R

أمثلة

1/ $\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x})$ غير موجودة

الحل

نفرض أن $\phi (x)=\frac{1}{x}$ إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ$(x_n)$ حيث $n\in \mathbb{N}$ , $x_n=\frac{1}{x}$ هذا سيؤدي إلى أن $\underset{x\to 0}{lim}{x}_n=0$ لكن $(x_n)=\frac{1}{\frac{1}{n}}=n$ وكما نعلم أن المتتابعة $(\phi (x_n))=n$ ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}$ غير موجودة.

انظر أيضًا

• نهاية متتالية،
• قاعدة لوبيتال.