فجوة أولية

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
توزيع الأعداد الأولية حتى 1.6 مليار. تحدث القمم عند مضاعفات الرقم 6.[1]

الفجوة الأولية هي الفرق بين عددين أوليين متتابعين. الفجوة الأولية النونية، والمشار إليها ب

gn

أو

g(pn)

هي الفرق بين

pn

و

pn+1

، أي :

gn=pn+1pn

لدينا g1=1، و g3=g2=2،g4=4. و تمت دراسة المتتالية (gn) على نطاق واسع ؛ ومع ذلك، تظل العديد من الأسئلة والحدسيات دون إجابة.

أول 60 فجوة أولية هي:

1، 2، 2، 4، 2، 4، 2، 4، 6، 2، 6، 4، 2، 4، 6، 6، 2، 6، 4، 2، 6، 4، 6، 8، 4، 2، 4، 2، 4، 14، 4، 6، 2، 10، 2، 6، 6، 4، 6، 6، 2، 10، 2، 4، 2، 12، 12، 4، 2، 4، 6، 2، 10، 6، 6، 6، 2، 6، 4، 2،...[2]
من خلال التعريف الذي أعطيناه ل gn، يمكن كتابة أي عدد أولي على الشكل الآتي :
pn+1=2+i=1ngi.

ملاحظات بسيطة

أول وأصغر فجوة أولية هي بحجم 1، وهي فجوة بين 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد، و 3، أول عدد أولي فردي. جميع الفجوات الأولية الأخرى هي زوجية. يوجد زوج واحد فقط من الفجوات المتتالية بحجم 2 : الفجوات g2 و g3 بين الأعداد الأولية 3 و 5 و 7.

لأي عدد صحيح، العاملي، والذي يرمز له ب

n!

هو ناتج ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر أو تساوي

n

. إذاً المتتالية :

n!+2,n!+3,,n!+n

العدد الأول في هذه المتتالية يقبل القسمة على 2، والعدد الثاني يقبل القسمة على 3، وهكذا... وبالتالي، فهذه متتالية بحجم 

n1

من الأعداد الصحيحة المؤلف المتتالية، وهذه ببساطة فجوة بين الأعداد الأولية، طولها

n

على الأقل. ويترتب على ذلك وجود فجوات بين الأعداد الأولية كبيرة للغاية بشكل إستعباطي، أي أنه بالنسبة لأي عدد صحيح

N

، يوجد عدد صحيح موجب

m

بحيث

gmN

.

ومع ذلك، يمكن أن تحدث الفجوات الكبيرة بين الأعداد الأولية عند عدد أصغر بكثير من n! على سبيل المثال، أول فجوة أولية بحجم أكبر من 14 تحدث بين الأعداد الأولية 523 و 541، في حين أن 15! هو عدد كبير بشكل شاسع 1307674368000.

نتائج عددية

عادة ما يُطلق على النسبة gnln(pn) «ميزة الفجوة gn».

نقول أن gn هي فجوة قصوى، إذا وإذا كان فقط gm<gn لكل m<n، في أغسطس 2018 وجد برتيل نيمان أكبر فجوة قصوى وتحتوي على 1550 رقم، تحدث هذه الفجوة بعد العدد الأولي 18361375334787046697.[3] يمكن الإطلاع على فجوات قصوى أخرى في OEIS.

هذه قائمة الفجوات القصوى :

الأعداد من 1 إلى 80
الأعداد من 1 إلى 27
# gn pn n
1 1 2 1
2 2 3 2
3 4 7 4
4 6 23 9
5 8 89 24
6 14 113 30
7 18 523 99
8 20 887 154
9 22 1,129 189
10 34 1,327 217
11 36 9,551 1,183
12 44 15,683 1,831
13 52 19,609 2,225
14 72 31,397 3,385
15 86 155,921 14,357
16 96 360,653 30,802
17 112 370,261 31,545
18 114 492,113 40,933
19 118 1,349,533 103,520
20 132 1,357,201 104,071
21 148 2,010,733 149,689
22 154 4,652,353 325,852
23 180 17,051,707 1,094,421
24 210 20,831,323 1,319,945
25 220 47,326,693 2,850,174
26 222 122,164,747 6,957,876
27 234 189,695,659 10,539,432
الأعداد من 28 إلى 54
# gn pn n
28 248 191,912,783 10,655,462
29 250 387,096,133 20,684,332
30 282 436,273,009 23,163,298
31 288 1,294,268,491 64,955,634
32 292 1,453,168,141 72,507,380
33 320 2,300,942,549 112,228,683
34 336 3,842,610,773 182,837,804
35 354 4,302,407,359 203,615,628
36 382 10,726,904,659 486,570,087
37 384 20,678,048,297 910,774,004
38 394 22,367,084,959 981,765,347
39 456 25,056,082,087 1,094,330,259
40 464 42,652,618,343 1,820,471,368
41 468 127,976,334,671 5,217,031,687
42 474 182,226,896,239 7,322,882,472
43 486 241,160,624,143 9,583,057,667
44 490 297,501,075,799 11,723,859,927
45 500 303,371,455,241 11,945,986,786
46 514 304,599,508,537 11,992,433,550
47 516 416,608,695,821 16,202,238,656
48 532 461,690,510,011 17,883,926,781
49 534 614,487,453,523 23,541,455,083
50 540 738,832,927,927 28,106,444,830
51 582 1,346,294,310,749 50,070,452,577
52 588 1,408,695,493,609 52,302,956,123
53 602 1,968,188,556,461 72,178,455,400
54 652 2,614,941,710,599 94,906,079,600
الأعداد من من 55 إلى 80
# gn pn n
55 674 7,177,162,611,713 251,265,078,335
56 716 13,829,048,559,701 473,258,870,471
57 766 19,581,334,192,423 662,221,289,043
58 778 42,842,283,925,351 1,411,461,642,343
59 804 90,874,329,411,493 2,921,439,731,020
60 806 171,231,342,420,521 5,394,763,455,325
61 906 218,209,405,436,543 6,822,667,965,940
62 916 1,189,459,969,825,483 35,315,870,460,455
63 924 1,686,994,940,955,803 49,573,167,413,483
64 1,132 1,693,182,318,746,371 49,749,629,143,526
65 1,184 43,841,547,845,541,059 1,175,661,926,421,598
66 1,198 55,350,776,431,903,243 1,475,067,052,906,945
67 1,220 80,873,624,627,234,849 2,133,658,100,875,638
68 1,224 203,986,478,517,455,989 5,253,374,014,230,870
69 1,248 218,034,721,194,214,273 5,605,544,222,945,291
70 1,272 305,405,826,521,087,869 7,784,313,111,002,702
71 1,328 352,521,223,451,364,323 8,952,449,214,971,382
72 1,356 401,429,925,999,153,707 10,160,960,128,667,332
73 1,370 418,032,645,936,712,127 10,570,355,884,548,334
74 1,442 804,212,830,686,677,669 20,004,097,201,301,079
75 1,476 1,425,172,824,437,699,411 34,952,141,021,660,495
76 1,488 5,733,241,593,241,196,731 135,962,332,505,694,894
77 1,510 6,787,988,999,657,777,797 160,332,893,561,542,066
78 1,526 15,570,628,755,536,096,243 360,701,908,268,316,580
79 1,530 17,678,654,157,568,189,057 408,333,670,434,942,092
80 1,550 18,361,375,334,787,046,697 423,731,791,997,205,041
 

نتائج متقدمة

الحد الأعلى

تنص مسلمة برنارد على أنه يوجد دائما عدد أولي بين k و 2k، وهذا يعني أن pn+1<2pn وبالتالي gn<pn.

تم إثبات مبرهنة الأعداد الأولية عام 1852، والتي تنص على أن متوسط الفجوة بين عددين أوليين متتابعين هو تقريبا lnx بالنسبة لعدد كبير x. الفجوة الحقيقية قد تختلف عن هذه النتيجة ومع ذالك يمكن للمرئ أن يستنتج منها الآتي :

لكل

ϵ>0

، يوجد عدد

N

، بحيث لكل

n>N

لدينا :

gn<pnϵ

.

يمكن للمرء أيضًا أن يستنتج أن الفجوات تصبح أصغر بشكل استعباطي مقارنةً مع حجم الأعداد الأولية : فحاصل القسمة :

limngnpn=0.

في عام 2005 قام كل من دانيال غولدستون ويانوس بينتز وسيم يلدريم بإثبات الآتي :

lim infngnlogpn=0

وبعد سنتين قاموا بتحسين هذه النتيجة إلى :

lim infngnlogpn(loglogpn)2<.

وفي عام 2013 أثبت يتانغ تشانغ أن هناك على الأقل فجوة الأولية بحجمٍ أقل من سبعين مليون، بحيث أنها تتكرر عدداً لانهائياً من المرات، أي أن :

lim infngn<7107

الحد الأدنى

في عام 1931، قام إريك ويستزينثيوس بإثبات أن الفجوات الأولية القصوى تنموا بشكل أسرع من اللوغاريتمي، أي أن :

lim supngnlogpn=.

في عام 1938، أثبت روبرت رانكين وجود ثابت

c>0

، بحيث المتفاوتة الآتية :

gn>clognloglognloglogloglogn(logloglogn)2

صحيحة من أجل عدد لانهائي من قيم

n

، محسناً نتائج بول إيردوس و ويستزينثيوس، أثبت لاحقا أنه يمكن ل

c<eγ

, بحيث

γ

هو ثابت أويلر-ماسكيروني. عرض بول إيردوس جائزة قدرها 10000 دولار لإثبات أو دحض أن الثابت

c

يمكن أن يكون كبيراً بشكل استعباطي. تم إثبات صحة ذلك في عام 2014 من طرف فورد-جرين-كونياجين-تاو، وبشكل مستقل، جيمس ماينارد[4]، وتم تحسين النتيجة إلى[5]

gn>clognloglognloglogloglognlogloglogn

متأثراً بجائزة إيردوس الأصلية، عرض تيرنس تاو جائزة قدرها 10000 دولار أمريكي لمن أثبت أن

c

يمكن أن يأخذ كبيراً بشكل استعباطي في هذه المتفاوتة.

حدسيات عن الفجوات الأولية

يمكن تحقيق نتائج أفضل في ظل فرضية ريمان. أثبت هارالد كرامر أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فهذا يعني أن الفجوة

gn

تستوفي المعادلة الآتية:

gn=O(pnlogpn)

بحيث ترمز

O

إلى تمثيل O الكبرى، بعدها قام كرامر بحدس أن الفجوة تستوفي أيضا المعادلة الآتية :

gn=O((logpn)2).

تنص حدسية فيروزباخت على أن

pn1/n

هي دالة تناقصية قطعياً، أي أن :

pn+11/(n+1)<pn1/n

لكل

n1

إذا كانت هذه الحدسية صحيحة فإن فإن دالة الفجوة الأولية

gn=pn+1pn

تستوفي المتفاوتة

gn<(logpn)2logpn

لكل

n>4

[6] هذه الحدسية تشير إلى نسخة قوية من حدسية كرامر ولكنها لا تتوافق مع اقتراح غرانفيل وبينتز الذي ينص على أن التفاوتة

gn>2εeγ(logpn)2

صحيحة لعدد لانهائي من

n

، لكل

ε>0

، بحيث

γ

هو ثابت أويلر-ماسكيروني. وفي الوقت نفسه ، حدسية أوبيرمان هي أضعف من حدسية كرامر. والتي تنص على أن حجم الفجوة الأولية هي في حدود :

gn<pn

إذا كانت حدسية أوبيرمان صحيحة ، فإنه يوجد

m

(على الأرجح

m=30

) بحيث لكل

n>m

لدينا

gn<pn

.

انظر أيضا

مراجع

  1. ^ "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?", S. Ares & M. Castro, 2005
  2. ^ "Prime gaps: differences between consecutive primes". OEIS. مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.
  3. ^ "NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550". مؤرشف من الأصل في 2021-04-30.
  4. ^ Maynard، James. "Large Gaps Between Primes". مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.
  5. ^ Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin,، James Maynard, Terence Tao. "Long gaps between primes". مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link) صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
  6. ^ A bot will complete this citation soon. Click here to jump the queue أرخايف:1010.1399..