عدد فيرما

في الرياضيات، عدد فيرما (بالإنجليزية: Fermat number)‏ هو عدد صحيح موجب يكتب على شكل:

$F_n=2^{2^{\stackrel{n}{}}}+1$

حيث n هو عدد صحيح غير سالب. سمي كذلك نسبة إلى بيير دي فيرما لأنه هو أول من درس هذه الأعداد.

إذا كان العدد 2ⁿ + 1 عددا أوليا وكان n > 0 من الممكن برهان أن n هو من مضاعفات العدد 2.

لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F₀ وF₁ وF₂ وF₃ وF₄.

الخصائص الأساسية

تحقق أعداد فيرما العلاقات ذاتية الاستدعاء التالية:

$F_n=(F_{n-1}-1{)}^2+1$

$F_n=F_0\cdots F_{n-1}+2$

كلما توفر n ≥ 1.

$F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}{F}_0\cdots F_{n-2}$

$F_n=F_{n-1}^2-2(F_{n-2}-1{)}^2$

كلما توفر n ≥ 2. يُبرهن على هذه العلاقات باستعمال البرهان بالترجع.

هل أعداد فيرما أولية ؟

درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي حدس (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف ليونهارد أويلر عندما أثبت عام 1732 أن :

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.$

أثبت أويلر أن جميع العوامل القاسمة لأعداد فيرما تكتبن على الشكل k2ⁿ⁺¹ + 1 ليثبت بعده إدوارد لوكاس أنهن تكتبن على الشكل k2ⁿ⁺² + 1. (أي أنه أثبت بأن k الذي جاء في صيغة أويلر زوجي).

تعميل أعداد فيرما

أعداد فيرما التسعة الأولى هن :

F0	=	21	+	1	=	3
F1	=	22	+	1	=	5
F2	=	24	+	1	=	17
F3	=	28	+	1	=	257
F4	=	216	+	1	=	65537
F5	=	232	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F6	=	264	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F7	=	2128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F8	=	2256	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

العام	المخترع	عدد فيرما	العامل
1732	أويلر	$F_5$	$5\cdot 2^7+1$
1732	أويلر	$F_5$ (معملة بشكل كامل)	$52347\cdot 2^7+1$
1855	توماس كلوسين	$F_6$	$1071\cdot 2^8+1$
1855	كلوسين	$F_6$ (معملة بشكل كامل)	$262814145745\cdot 2^8+1$
1877	بيرفوشين	$F_{12}$	$7\cdot 2^{14}+1$
1878	بيرفوشين	$F_{23}$	$5\cdot 2^{25}+1$
1886	Seelhoff	$F_{36}$	$5\cdot 2^{39}+1$
1899	Cunningham	$F_{11}$	$39\cdot 2^{13}+1$
1899	Cunningham	$F_{11}$	$119\cdot 2^{13}+1$
1903	Western	$F_9$	$37\cdot 2^{16}+1$
1903	Western	$F_{12}$	$397\cdot 2^{16}+1$
1903	Western	$F_{12}$	$973\cdot 2^{16}+1$
1903	Western	$F_{18}$	$13\cdot 2^{20}+1$
1903	Cullen	$F_{38}$	$3\cdot 2^{41}+1$
1906	Morehead	$F_{73}$	$5\cdot 2^{75}+1$
1925	Kraitchik	$F_{15}$	$579\cdot 2^{21}+1$

مبرهنات أخرى حول أعداد فيرما

لأي عدديين صحيحين موجبين m < n العلاقة التالية تتحقق

$F_n=(F_m-1{)}^{2^{(n-m)}}+1$

علاقة أعداد فيرما بمتعددات الأضلع القابلة للإنشاء

عدد أضلع متعددات القابلة للإنشاء عدد أضلاعها يذهب إلى حدود الألف (الغليظ) أو بعدد فردي من الأضلاع (الأحمر)

المقالة الرئيسية: مضلع قابل للإنشاء

طور كارل فريدريش غاوس نظرية الدورات الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية، فأعطى شرطا كافيا لقابلية متعددٍ للأضلاع للإنشاء بالمسطرة والبركار. ادعى غاوس أن شرطه ليس كافيا فحسب، وإنما هو ضروري أيضا، ولكنه لم ينشر برهانه على ذلك. جاء بالبرهان الكامل عام 1837 عالم الرياضيات الفرنسي بيير فانتزل، مما جعل هذه النتيجة تعرف باسم مبرهنة غاوس-فانتزل.

متعددٌ للأضلاع عدد أضلاعه يساوي n قابل للإنشاء بالمسطرة والبركار وحدهما إذا وفقط إذا كان n جداءا لقوةٍ لاثنين من جهة، ولائحة من أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر، من جهة أخرى. بتعير آخر، إذا وفقط إذا كان n يكتب على شكل n = 2^kp₁p₂…p_s حيث k عدد طبيعي موجب وحيث p_i هن أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر.

انظر إلى مؤشر أويلر.

انظر أيضًا

• مضلع قابل للإنشاء
• مبرهنة لوكاس
• عدد ميرسين الأولي,
• عدد شبه أولي,

مراجع

• 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
• S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475—478.
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), سبرنجر, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3,A12,B21.
• Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171—173.
• Michal Krizek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95—112.
• A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111—115.