مؤشر أويلر

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
القيم الألف الأولى ل (φ(n

في نظرية الأعداد، مؤشر أويلر (بالإنجليزية: Euler's totient function)‏ هو دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية.[1][2][3] تستعمل في الرياضيات الخالصة وفي نظرية المجموعات وفي نظرية الأعداد الجبرية وفي نظرية الأعداد التحليلية. في الرياضيات التطبيقية، مروراً بالحسابيات التوافقية، تلعب دوراً مهماً في نظرية المعلومات وخاصة في التشفير. وتسمى دالة فاي لأويلر أو ببساطة دالة فاي، لأن الحرف φ مستعمل للإشارة لهذه الدالة.

وتحمل اسم الرياضي السوسري أويلر (1707 - 1783) الذي كان أول من درسها.

  • مؤشر أويلر φ هي دالة من مجموعة الأعداد الطبيعية نحو نفس المجموعة، حيث صورة n بالدالة هو عدد الأعداد الأصغر من n والأولية مع n.

مثلا، φ(8) = 4 لأن الأعداد 1، 3، 5 و7 أولية مع 8.

دالة أويلر هي دالة جدائية أو ضربية أي أنه إذا كان m و n أوليين فيما بينهما، إذا: φ(mn)=φ(m)φ(n)

التاريخ والتسمية والرمز المستعل

أبدع ليونهارت أويلر هذه الدالة عام 1763م و مع ذلك في ذلك الوقت لم يقم أويلر بإختيار أي رمز للدلالة عليها. في منشور عام 1784، درس أويلر هذه الدالة بشكل أكبر، واختار الحرف اليوناني π للدلالة عليها: كتب πD لـ «عدد الأعداد الأقل من D ، والتي ليس لها قاسم مشترك معها».

يختلف هذا التعريف عن التعريف الحالي للدالة الكلية عند D = 1 ولكنه بخلاف ذلك هو نفسه. التدوين القياسي الحالي (φ(A يأتي من أطروحة غاوس استفسارات حسابية والتي نشرت عام 1801. على الرغم من أن غاوس لم يستخدم الأقواس حول المتغير وكتب φA. بالتالي، غالبًا ما تسمى دالة فاي لأويلر أو ببساطة دالة فاي.

حساب دالة أويلر

φ(n)=npn(11p),

حيث يمتد هذا الجداء على القواسم الأولية المختلفة الواحد منهم عن الآخر.

مثال

φ(36)=φ(2232)=36(112)(113)=361223=12.
قيمة دالة أويلر للعدد أولي
φ(p)=p1 حيث p عدد أولي، ودالة أويلر تأخذ هذه القيمة لكل الأعداد الأولية، والسبب يرجع لأن كل الأعداد الأصغر قطعا من p هي اولية مع p.

مثال

φ(19)=191=18، لأن 19 عدد أولي.

قيمة دالة أويلر للقوة عدد أولي (أس)

φ(pn)=pnpn1، حيث p عدد أولي و n عدد صحيح موجب.

مثال

φ(73)=73731=34349=294.

برهان لصيغة جداء أويلر

تنص المبرهنة الأساسية في الحسابيات على أنه إذا كان n > 1 فإنه يمكن التعبير على n عبر جداء من الأعداد الأولية n=p1k1p2k2prkr، بما أن مؤشر أويلر هي دالة جدائية، لدينا

φ(n)=φ(p1k1)φ(p2k2)φ(prkr)[.1em]=p1k11(p11)p2k21(p21)prkr1(pr1)[.1em]=p1k1(11p1)p2k2(11p2)prkr(11pr)[.1em]=p1k1p2k2prkr(11p1)(11p2)(11pr)[.1em]=n(11p1)(11p2)(11pr).

بعض من قيم الدالة

بيان لمائة قيمة الأولى لدالة مؤشر أويلر
φ(n) for 1 ≤ n ≤ 143
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10
12 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22
24 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24
36 12 36 18 24 16 40 12 42 20 24 22 46
48 16 42 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70
72 24 72 36 40 36 60 24 78 32 54 40 82
84 24 64 42 56 40 88 24 72 44 60 46 72
96 32 96 42 60 40 100 32 102 48 48 52 106
108 36 108 40 72 48 112 36 88 56 72 58 96
120 32 110 60 80 60 100 36 126 64 84 48 130
132 40 108 66 72 64 136 44 138 48 92 70 120

على سبيل المثال، العدد الذي يقع في تقاطع العمود الذي يحمل رقم 5 مع الخط الذي يحمل العدد 132 هو 136. سبب ذلك هو ما يلي:

φ(132+5)=φ(137)=136. ويعود كون φ(137) تصغر بواحد 137 إلى كون العدد 137 أوليا.

مبرهنة أويلر

تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كان a و n عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما، فإن:

aφ(n)1modn.

الحالة الخاصة من هذه المبرهنة حينما يكون n أوليا تعرف باسم مبرهنة فيرما الصغرى.

انظر إلى مبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)

صيغ أخرى تحتوي على مؤشر أويلر

  • abφ(a)φ(b)
  • nφ(an1)for a,n>1
  • φ(mn)=φ(m)φ(n)dφ(d) بحيث d=gcd(m,n)
  • φ(2m)={2φ(m)m is evenφ(m)m is odd
  • φ(nm)=nm1φ(n)
  • dnμ2(d)φ(d)=nφ(n)
  • 1kn(k,n)=1k=12nφ(n)for n>1
  • k=1nφ(k)=12(1+k=1nμ(k)nk2)=3π2n2+O(n(logn)23(loglogn)43)
  • k=1nφ(k)k=k=1nμ(k)knk=6π2n+O((logn)23(loglogn)43)

خاصية مينون

في عام 1965 أثبت كيسافا مينون أن

gcd(k,n)=11kngcd(k1,n)=φ(n)d(n),

بحيث d(n) هو عدد قواسم العدد .n

معضلات غير محلولة

حدسية ليهمر

إذا كان p عددا أوليا، فإن φ(p) = p − 1. في عام 1932، طرح ديريك هنري ليهمر السؤال التالي: هل هناك من عدد طبيعي n مؤلف (أي غير أولي)، حيث φ(n) يقسم n -1 ؟ لا يعلم حاليا أي جواب على هذا السؤال.

في عام 1933، برهن على أنه إذا كان هذا العدد موجودا، فإنه حتما، فردي وخال من المربعات، وقابل للقسمة على سبعة أعداد أولية على الأقل (أي أن ω(n) ≥ 7).

حدسية كارميكائيل

انظر إلى حدسية دالة المؤشر لكارميكائيل.

فرضية ريمان

nφ(n)<eγloglogn+eγ(4+γlog4π)logn

انظر أيضًا

مراجع

  1. ^ "معلومات عن مؤشر أويلر على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2015-09-12.
  2. ^ "معلومات عن مؤشر أويلر على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-07-13.
  3. ^ "معلومات عن مؤشر أويلر على موقع oeis.org". oeis.org. مؤرشف من الأصل في 2019-03-07.

وصلات خارجية