توزيع بيتا

توزيع بيتا

دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$\alpha >0$ (حقيقي) $\beta >0$ (حقيقي)
الدعم	$x\in (0;1)$
د۔ك۔ح۔	$\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$
د۔ت۔ت	$I_x(\alpha ,\beta )$
المتوسط الحسابي	$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$
الوسيط الحسابي	$I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )$ بلا صيغة مغلقة.
المنوال	$\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$ إذا $\alpha >1,\beta >1$
التباين	$\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$
التجانف	$\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha +\beta +1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha \beta }}$
التفرطح	$6\frac{{\alpha }^3-{\alpha }^2(2\beta -1)+{\beta }^2(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}$
الاعتلاج	$\log (\gamma )+\log (4\pi )$
د۔م۔ع	$1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\prod _{r=0}^{k-1}\frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r})\frac{t^k}{k!}$
الدالة المميزة	${}_1{F}_1(\alpha ;\alpha +\beta ;it)$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع بيتا توزيع احتمالي مستمر والاسم مشتق من اسم الدالة الرياضية بيتا التي تظهر في معادلاتها. ودالة بيتا هي نوع من التوزيعات الاحتمالية المستمرة المعرفة على الفترة [0، 1] من قبل اثنين من المعلمات بشكل إيجابي، والرموز α و β، التي تظهر الأسس بالنسبة إلى المتغير العشوائي والتحكم في شكل التوزيع.

الخواص

دالة الكثافة

دالة الكثافة الاحتمالية الخاصة بتوزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\alpha -1}(1-u{)}^{\beta -1}du}$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$

$=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$

حيث $\mathrm{\Gamma }$ هي دالة غاما. فيما B دالة بيتا للاستنظام حتى يصبح تكاملها على الفترة يساوي واحد.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{{\mathrm{B}}_x(\alpha ,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=I_x(\alpha ,\beta )$