توزيع هندسي

التوزيع الهندسي (بالإنكليزية: Geometric distribution) وهو جزء من التوزيع الاحتمالي المتعلق بتجارب بيرنولي، ويستخدم التوزيع الهندسي النموذج التالي: "كم عدد المحاولات التي نحتاجها للحصول على النتيجة المطلوبة؟"

إن التوزيع الهندسي يستخدم من أجل التوزيع التكراري للبيانات الكمية المنفصلة الثنائية من أجل معرفة احتمال ظهور المشاهدة W بعد k محاولة في التجربة المنفذة في فضاء عينة S ذو المشاهدات المعلومة Ai ذات قيم الاحتمال الثابتة والمعلومة Pi

$P(W)=p*(1-p{)}^{k-1}$.

تعريف

التوزيع الهندسي هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:

$f(x)=p(1-p{)}^{x-1}$

حيث أن ...,1,2,3=x

حيث أن $x\ge 1$ , $0\le p\le 1$ , $f(x)\ge 0$ لجميع قيم x

$\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}p(1-p{)}^{x-1}=p\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^{x-1}=p\frac{1}{1-(1-p)}=1$

وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.

يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .

مثال

ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟

الحل:

الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6

الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6

يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8

$P(W)=p(1-p{)}^{n-1}=p{q}^{n-1}$

بتعويض المعطيات

$p(w)=(1/6)*(5/6{)}^{(}8-1)$

$p(w)=0.04651$

أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.

دالة التوزيع التراكمية

$F(x)=\sum _{s=1}^{x}f(s)=\sum _{s=1}^{x}p{q}^{s-1}$

$=p\frac{(1-q{)}^x}{(1-q)}=1-q^x$

حيث أن ...,x=1,2,3

المنوال

نلاحظ أن

$\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{p{q}^x}{p{q}^{(}x-1)}=q<1$

أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1

متوسط التوزيع

$\mu =E(x)=\sum _{x=1}^{}xp{q}^{x-1}$

$=p[1+2q+3q^2+4q^3+...]$

$=p(1-q{)}^{-2}=\frac{1}{p}$

تباين التوزيع

نعلم أن

$\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x{q}^x=q+2q^2+3q^3+\dots$

$=q(1+2q+3q+...)$

$=\frac{q}{(1-q{)}^2}$

بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على

$\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^2{q}^{x-1}=\frac{1+q}{(1-q{)}^3}$

$\therefore \sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2}p{q}^{x-1}=p\frac{(1+q)}{p^3}$

$E(x^2)=\frac{1+q}{(p{)}^2}$

وبذلك يكون التباين

${\sigma }^2=\frac{1+q}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}$

دالة توليد العزوم

$M(t)=\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{xt}p{q}^{x-1}$

$=p{e}^t\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}(q{e}^t{)}^{x-1}$

$=\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}$

و حيث أن

$M^{\prime }(x)=\frac{p{e}^t}{(1-q{e}^t{)}^2}$

$M^{″}(t)=\frac{p{e}^t(1+q{e}^t)}{(1-q{e}^t{)}^3}$

$\therefore \mu =\mu {\text{'}}_1=M^{\prime }(0)=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p}$

$\mu {\text{'}}_2=M^{″}(0)=\frac{p(1+q)}{(1-q{)}^3}=\frac{1+q}{p^2}$

${\sigma }^2=\mu {\text{'}}_2-{\mu }^2=\frac{1+q}{p^2}-(\frac{1}{p}{)}^2=\frac{q}{p^2}$

مثال:

احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.

الحل:

$p=0.4⟹q=0.6$

احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :

$p=(0.4)(0.6{)}^3=0.0864$

مثال:

إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد

1- التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .

2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.

3- ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .

4- ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.

الحل :

احتمال ولادة ذكر p= 1/3

X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر

1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي

...,1,2,3=x

,.$f(x)=\frac{1}{3}(\frac{2}{3}{)}^{x-1}$

2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث

$\mu =\frac{1}{p}=\frac{1}{(\frac{1}{3})}=3$

3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث

$p(x=2)=f(2)=(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})=\frac{2}{9}$

4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو

$p(x\le 3)=F(3)=1-q^3=1-(\frac{2}{3}{)}^3=\frac{19}{27}=0.7$

المراجع

• الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات
• المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال