دالة الكثافة الاحتمالية

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في نظرية الاحتمالات، دالة كثافة الاحتمال[1] أو دالة الكثافة الاحتمالية (د. ك.ا) (بالإنجليزية: probability density function)‏ أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

+f(x)dx=1

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي X دالة كثافة احتمالية f(X)، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

P[aXb]=abf(x)dx

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير X قيمًا في الفترة [a,b] مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير X، يتحقق:

,F(x)=xf(u)du

وكذلك، فإنّ:

f(x)=ddxF(x)

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة f(x)، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي [x,x+dx] هو f(x)dx.

دوال كثافة احتمالية مهمة

  • التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة [a,b] إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة [a,b] مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة [a,b]، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة [a,b]، أي:
f(x)={axb0x<a,x>b
f(x)=12πex22
هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ-μ والتباين مساويًا لـ-σ2 تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
f(x)=12πσ2e(xμ)22σ2

استعمالات

E[X]=+xf(x)dx
أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

انظر أيضًا

مراجع

  1. ^ Q108593221، ص. 553، QID:Q108593221