يرجى مراجعة هذه المقالة وإزالة وسم المقالات غير المراجعة، ووسمها بوسوم الصيانة المناسبة.

ممتد متري

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية إحدى التعريفات تنص أن الممتد المتري أو الموتر المتري: هو نوع من الاقترانات التي تأخذ المُدخل كزوج من المتجهات المماسية v وw عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا عددًا حقيقيًا قياسيًا g(v, w)بطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في الضرب النقطي للمتجهات في الفضاء الإقليدي، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال التكامل فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول المنحنيات في المتشعب.

يُطلق على الموتر المتري مُعرِف موجب إذا ربط قيمة موجبة g(v, v) > 0لكل متجه غير صفري v، فالمتشعب المزود بموتر متري مُعرِف موجب يُعرف باسم متشعب ريماني، وفي المتشعب الريماني يسمى المنحنى الذي يربط بين نقطتين لهما أصغر طول محليًا بالمنحنى الجيوديسي، وطوله هو المسافة التي يحتاجها مار ما في المتشعب قطعها للانتقال من نقطة إلى أخرى، وبالتزود بمفهوم الطول فإن المتشعب الريماني هو فضاء متري، مما يعني أنه يملك دالة مسافة d(p, q)التي تكون قيمتها عند زوج من النقاط p وq هي المسافة من p إلى q وعلى العكس من ذلك فإن الممتد المتري نفسه هو مشتق من دالة المسافة مأخوذًا بطريقةٍ مناسبة، وبالتالي فإن الموتر المتري يعطي مسافة متناهية الصغر في المُتَشعب.

في حين أن فكرة الموتر المتري كانت معروفة إلى حدٍ ما في أوائل القرن التاسع عشر لعلماء الرياضيات أمثال كارل غاوس، إلا أنها لم تكن كذلك حتى أوائل القرن العشرين القرن الذي تم فهم خصائصه كموتّر من قِبل غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-تشيفيتا على وجه الخصوص اللذان قاما أولاً بتدوين مفهوم الموتر، فالموتر المتري هو مثال على حقل الموتر.

تأخذ مُرَكِّبات الموتر المتري في القاعدة الإحداثية شكل مصفوفة متماثلة تتحول مُدخلاتها بشكل متغاير بفعل تغييرات نظام الإحداثيات، وبالتالي فإن الموتر المتري هو موتر متماثل متغاير، أما من وجهة نظر الإحداثيات المستقلة يُعرَّف كحقل موتر متري ليكون نموذج خطي متماثل غير منحل في كل فضاء مماسي متغير بنعومة (أي قابلة للاشتقاق) من نقطة إلى أخرى.

مقدمة

اعتبر كارل فريدريش غاوس عام 1827 في كتابه أو ما عُرف بتحقيقاته نحو الأسطح المنحنية أنها سطح حدودي، ومع الإحداثيات الديكارتية: x وy وz للنقاط على السطح اعتمادًا على متغيرين مساعدين هما: u وv، وبالتالي فإن السطح الحدودي في مصطلحات اليوم هو دالة ذات قيمة متجهة:

r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

بالاعتماد على زوج مرتب من المتغيرات الحقيقية (u, v)ومُعرفة على مجموعة مفتوحة D في مستوى-uv، حيث كان أحد الأهداف الرئيسية لتحقيقات غاوس هو استنتاج خصائص ذلك السطح الذي يمكن وصفه باقتران يبقى دون تغيير إذا خضع السطح لتحول في الفضاء كثني السطح دون شده، أو أن يحدث تغيير في الشكل الحدودي المحدد لنفس السطح الهندسي.

إحدى هذه الكميات الثابتة الطبيعية هي طول المنحنى المرسوم على طول السطح، والأخرى هي الزاوية بين زوج المنحنيات المرسومة على طول السطح وتلتقيان في نقطة واحدة، أما الكمية الثالثة فهي مساحة قطعة من السطح؛ أدت دراسة هذه الثوابت للسطح إلى تقديم غاوس لمفهوم سبّاق حديث للموتر المتري.

طول القوس

إذا أُخذ المتغيرين u وv للاعتماد على متغير ثالث هو t مع أخذ القيم في الفترة [a, b]؛ فإن r(u(t),v(t)) سوف يتتبع المنحنى الحدودي في السطح الحدودي M، ويُعطى طول القوس لهذا المنحنى من خلال التكامل الآتي:

s=abddtr(u(t),v(t))dt[5pt]=abu(t)2ruru+2u(t)v(t)rurv+v(t)2rvrvdt

حيث أن يمثل المعيار الإقليدي، هنا تم تطبيق قاعدة السلسلة حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية:

ru=ru,rv=rv

المُكامل هو الحصر[1] لمنحنى الجذر التربيعي للتفاضل التربيعي:

(ds)2=E(du)2+2Fdudv+G(dv)2

 

 

 

 

(1)

حيث أن:

E=ruru,F=rurv,G=rvrv

 

 

 

 

(2)

الكمية ds في (1) تُسمى عنصر الخط، بينما ds2تُسمى الشكل الأساسي الأول لـM، ومن البديهي أنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع الإزاحة التي خضع له r(u,v)عندما ازدادت u بوحدات du، وازدادت v بوحدات dv.

باستخدام تدوين المصفوفة تصبح الصيغة الأساسية الأولى كالتالي:

ds2=[dudv][EFFG][dudv]

التحولات الإحداثية

افترض الآن أن حدود مختلفة حُددت من خلال السماح لـu وv الاعتماد على زوج آخر من المتغيرات هما: uوvفإن النظيرللمعادلة (2) للمتغيرات الجديدة هو:

E=ruru,F=rurv,G=rvrv.

 

 

 

 

(2')

تربط قاعدة السلسلة EوFوGبE وF وG من خلال معادلة المصفوفة التالية:

[E'F'F'G']=[]T[EFFG][]

 

 

 

 

(3)

حيث يشير الحرف العلوي T إلى منقولة المصفوفة، والمصفوفة ذات المعاملات: E وF وG المُرتبة بتلك الطريقة تتحول بواسطة مصفوفة ياكوبية لتغيير الإحداثيات:

J=[]

المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي نوع واحد يسمى موتر، والمصفوفة هي:

[EFFG]

ومع قانون التحويل (3) يُعرف هذا بالموتر المتري للسطح.

ثبات طول القوس الخاضع لتحولات إحداثية

لاحظ ريتشي كورباسترو وليفي تشيفيتا عام (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات: E وF وG التي تحولت بهذه الطريقة عند الانتقال من أحد نظام الإحداثيات لآخر، والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول (1) ثابت في ظل التغييرات المُحدَثة في نظام الإحداثيات، حيث تُبعَ هذا حصريًا من خصائص التحويل ل EوF وG، وبالفعل من خلال استخدام قاعدة السلسلة فإن:

[dudv]=[][du'dv']

ولهذا نحصل على أن:

ds2=[dudv][EFFG][dudv][6pt]=[du'dv'][[6pt]vu]T[EFFG][[6pt]vu][du'dv'][6pt]=[du'dv'][E'F'F'G'][du'dv'][6pt]=(ds')2

طول وزاوية

تفسير آخر للموتر المتري الذي أخذه غاوس بعين الاعتبار أيضًا: هو أنه يوفر طريقة لحساب طول المتجهات المماسية للسطح، إضافةً إلى الزاوية بين متجهين مماسين، وبالمصطلحات المعاصرة يسمح الموتر المتري بحساب الضرب النقطي لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف الحدودي للسطح، حيث يمكن كتابة أي متجه مماسي عند نقطة في السطح الحدودي M بالصيغة التالية:

p=p1ru+p2rv

للأعداد الحقيقية المناسبة p1وp2إذا أُعطيَ متجهان مماسيان هما:

a=a1ru+a2rvb=b1ru+b2rv

ثم باستخدام الثنائي الخطي للضرب النقطي ينتج أن:

ab=a1b1ruru+a1b2rurv+b1a2rvru+a2b2rvrv[8pt]=a1b1E+a1b2F+b1a2F+a2b2G[8pt]=[a1a2][EFFG][b1b2]

من الواضح أن هذه الدالة مُكوَنة من المتغيرات الأربعة: a1و b1و a2و b2، لكن يُنظر إليها بشكل أكثر إفادة على أنها دالة تأخذ زوجًا من الوسيطات a = [a1 a2]و b = [b1 b2]وهي متجهات في المستوى-uv، وهذا يعني أن:

g(a,b)=a1b1E+a1b2F+b1a2F+a2b2G

هذه دالة متماثلة في aوb، مما يعني أن:

g(a,b)=g(b,a)

هو أيضًا ثنائي خطي مما يعني أنه خطي في كل متغير aوbعلى حدة، يعني أن:

g(λa+μa,b)=λg(a,b)+μg(a,b),andg(a,λb+μb)=λg(a,b)+μg(a,b)

لأي متجهات aو aو bو bفي المستوى-uv وأي أعداد حقيقية μ وλ.

على وجه الخصوص يُعطى طول متجه المماس aمن خلال:

a=g(a,a)

وتُحسب الزاوية θ بين متجهين aوbمن خلال:

cos(θ)=g(a,b)ab

مساحة

مساحة السطح هي كمية عددية أخرى يجب أن تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديد العوامل، فإذا كان السطح M حُددت عوامله بواسطة الدالة r(u,v) على المجال D في المستوى-uv؛ فإن مساحة السطح M تُعطى من خلال التكامل الآتي:

D|ru×rv|dudv

حيث تشير ×إلى الضرب التقاطعي (الضرب الاتجاهي)، والقيمة المطلقة تشير إلى طول المتجه في الفضاء الإقليدي، ومن خلال متطابقة لاغرانج للضرب التقاطعي فإنه يمكن كتابة التكامل الآتي:

D(ruru)(rvrv)(rurv)2dudv[5pt]=DEGF2dudv[5pt]=Ddet[EFFG]dudv

حيث: detهي المُحَدِّد.

تعريف

لنجعل M متشعبًا ناعمًا بُعده n، على سبيل المثال سطح في حالة n = 2أو سطح فائق في الفضاء الديكارتي Rn+1؛ ففي كل نقطة pMهناك فضاء متجهي TpMيسمى فضاء المماس، حيث يتألف من جميع المتجهات المماسية للمتشعب عند النقطة p، والموتر المتري عند p هو دالة: gp(Xp, Yp)التي تأخذ زوجًا من متجهات المماس XpوYpعند p كمدخلات، وتنتجُ رقمًا حقيقيًا قياسيًا كمخرج، حيث أن الشروط التالية مُستوفية:

  • gp خطي: تكون دالة الوسيطتين المتجهتين خطيتين إذا كانت خطية بشكل منفصل في: كل وسيطة، لذلك إذا كانت Up وVp وYp: هي ثلاث: مماسات لمتجهات عند p، وa وb: هي أعداد حقيقية، إذًا:
gp(aUp+bVp,Yp)=agp(Up,Yp)+bgp(Vp,Yp),وgp(Yp,aUp+bVp)=agp(Yp,Up)+bgp(Yp,Vp)
  • gp متماثل:[2] تكون دالة الوسيطتين: المتجهتين متماثلة شرط أن تكون لكل المتجهات Xp وYp؛ حيث أن:
gp(Xp,Yp)=gp(Yp,Xp)
  • gp غير منحل (غير منعدم): حيث أن الدالة الثنائية الخطية غير منحلة شرط أن تكون الدالة لكل متجه مماس Xp0 هي:
Ypgp(Xp,Yp)

حُصِل عليها عن طريق بقاء Xpثابت والسماح لـ Ypبالتغير وأن يكون ليس صفرًا تمامًا، هذا يعني أن لكل Xp ≠ 0يوجد Yp، مثل gp(Xp, Yp) ≠ 0.

حقل الموتر المتري g في M يُخصص لكل نقطة p من M موتر متري gpفي مساحة المماس عند p بطريقةٍ تتفاوت بنعومةٍ مع p، وبشكلٍ أدق وبإعطاء أي مجموعة فرعية مفتوحة U من المتشعب M وأي حقول متجهات ناعمة: X وY في U، فالاقتران الحقيقي:

g(X,Y)(p)=gp(Xp,Yp)

هو اقتران ناعم لp.

مركبات المتري

تُعطى مُرَكِّبات المتري في أي قاعدة لحقول المتجهات أو إطارf = (X1, ..., Xn)من خلال:[3]

gij[f]=g(Xi,Xj).

 

 

 

 

(4)

عدد n2من الاقترانات gij[f]فإنها تُشكل مدخلات لمصفوفة متماثلة رتبتها n × nهي: G[f]إذا كان:

v=i=1nviXi,w=i=1nwiXi

متجهان عند pU؛ فإن قيمة المتري المُطبق على v وw يُحدد بواسطة المعاملات (4) عن طريق الثنائي الخطي:

g(v,w)=i,j=1nviwjg(Xi,Xj)=i,j=1nviwjgij[f]

دلالة المصفوفة (gij[f])بواسطة G[f]وترتيب مُرَكِّبات المتجهين v وw في متجهات العمود v[f]و w[f]هو:

g(v,w)=v[f]TG[f]w[f]=w[f]TG[f]v[f]

حيث تشير v[f]T و w[f]T لمنقولة المتجهين: v[f]و w[f]على التوالي، وبتغيير قاعدة النموذج نحصل على أن:

ff=(kXkak1,,kXkakn)=fA

بالنسبة لمصفوفة عكسية A=(aij) رتبتها n × nفإن مصفوفة المُرَكِّبات المترية تتغير بمقدار A أيضًا، وهذا هو:

G[fA]=ATG[f]A

أو بلغة مدخلات هذه المصفوفة:

gij[fA]=k,l=1nakigkl[f]alj

لهذا السبب يُقال إن نظام الكميات gij[f]يتحول بشكل متغاير بخصوص تغيرات في الإطار f.

متري في الإحداثيات

نظام عدد n من الاقترانات (x1, ..., xn)ذات القيمة الحقيقية يعطي نظام إحداثيات محلي على مجموعة مفتوحة U في M، محددًا قاعدةً لحقول المتجهات في U:

f=(X1=x1,,Xn=xn)

المتري g يملك مُرَكِّبات متعلقة بهذا الإطار يُعطى من خلال:

gij[f]=g(xi,xj)

بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، يُقال أن:

yi=yi(x1,x2,,xn),i=1,2,,n

الموتر المتري سيحدد مصفوفة مختلفة من المعاملات هي:

gij[f]=g(yi,yj)

هذا التضام الجديد من الاقترانات يتعلق بالأصلي gij(f)عن طريق قاعدة السلسلة:

yi=k=1nxkyixk

لهذا فإن:

gij[f]=k,l=1nxkyigkl[f]xlyj

أو من ناحية المصفوفات: G[f] = (gij[f])وG[f′] = (gij[f′]):

G[f]=((Dy)1)TG[f](Dy)1

حيث يشير Dy إلى المصفوفة الياكوبية لتغيير الإحداثيات.

شكل مميز للمتري

يرتبط الشكل التربيعي المُعرف في كل مساحة مماس بأي موتر متري من خلال:

qm(Xm)=gm(Xm,Xm),XmTmM

إذا كان qmموجب لجميع Xmغير الصفرية؛ فإن المتري يكون محددًا موجبًا عند m، وإذا كان المتري موجب التحديد عند كل mM؛ فإن g يسمى متري ريماني، وبشكلٍ عام إذا كانت الأشكال التربيعية qmلها شكل مميز ثابت مستقل عن m؛ فإن شكل g المميز هو هذا الشكل المميز، ويطلق على يه ريماني متري زائف،[4] أما إذا كان M متصل؛ فإن شكل qm المميز لا يعتمد على m.[5]

وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي، يمكن اختيار قاعدة متجهات المماس Xi محليًا بحيث يتحول الشكل التربيعي إلى الشكل التالي:

qm(iξiXi)=(ξ1)2+(ξ2)2+...+(ξp)2(ξp+1)2...(ξn)2

بالنسبة لبعض النقاط p بين 1 وn، فإن أي تعبيرين من هذا القبيل لـq عند نفس النقطة m في M سيكون لهما نفس العدد p من الإشارات الموجبة، وشكل g هوزوج من الأعداد الصحيحة (p, np)، مما يدل على أن هناك p من الإشارات الموجبة و npسلبية في أي تعبير من هذا القبيل، وبشكلٍ مكافِئ فإن المتري له شكل مميز وهو: (p, np)إذا كانت المصفوفة gijللمتري تحتوي على قيم مميزة وهي: p الموجبة و npالسلبية.

بعض الأشكال المترية التي تظهر بشكلٍ متكرر في التطبيقات هي:

  • إذا كان g له الشكل (n,0)؛ فإن g هي ريماني متري، وتسمى M متشعب ريماني، خلاف ذلك (g ليس لها توقيع) فإنg هو متري ريماني زائف وM يسمى متشعب ريماني زائف أو شبه ريماني.
  • إذا كان M رباعي الأبعاد مع الشكل (1,3) أو (3,1)، فإن المتري يسمى لورنتزيان، وبشكلٍ عام الموتر المتري في البعد n يمتلك 4 أشكال هي: (1, n − 1)أو (n − 1, 1)تسمى أحيانًا لورنتزيان.
  • إذا كانت M ثنائية الأبعاد وg لها الشكل (n,n)، فإن المتري يسمى زائدي.

متري معكوس

لنفترض أن f = (X1, ..., Xn)قاعدة لحقول المتجهات وكما ذكرنا سابقًا لندع G[f]مصفوفة المعاملات، حاصلين على أن:

gij[f]=g(Xi,Xj)

يمكن اعتبارالمصفوفة المعكوسة G[f]−1، والذي يتم تعريفها باستخدام المتري المعكوس أو المتري المتقارن أو الثنائي، ويطبق المتري المعكوس قانون التحول عندما يتم تغيير الإطار fبواسطة مصفوفة A من خلال الآتي:

G[fA]1=A1G[f]1(A1)T

 

 

 

 

(5)

يتحول المتري المعكوس بشكل مخالف أو فيما يتعلق بمعكوس تغيير قاعدة المصفوفةA ، في حين أن المتري نفسه يوفر طريقة لقياس طول حقول المتجهات أو الزاوية بينهما، فيوفر المتري المعكوس وسيلة لقياس طول حقول المتجهات المشتركة أو الزاوية بينهما، وهذا هو حقول الاقترانات الخطية.

لتفسير ما سبق رياضيًا افترض أن αهو حقل متجهات مشترك، هذا يعني أن لكل نقطة p هناك α تحدد اقتران αpمُعرف على متجهات مماسية عند p بحيث يكون الشرط الخطي التالي ينطبق على جميع المتجهات المماسية Xpو Ypوجميع الأعداد الحقيقية a وb:

αp(aXp+bYp)=aαp(Xp)+bαp(Yp)

مع اختلاف p يُفترض أن تكون α دالة ناعمة بمعنى أن:

pαp(Xp)

هي دالة ناعمة لـ p لأي حقل متجهات ناعم X.

أي حقل متجهات مشترك α له مُرَكِّبات في قاعدة حقول المتجهات f، حيث يُحددوا من خلال التالي:

αi=α(Xi),i=1,2,,n.

يُشار إلى متجه الصف لهذه المُرَكِّبات من خلال:

α[f]=[α1α2αn].

وبتغيير fبواسطة مصفوفة A؛ فإن α[f]تتغير حسب القاعدة الآتية:

α[fA]=α[f]A

وهذا يعني أن متجه الصف للمُرَكِّبات α[f]يتحول إلى متجه متغير.

بالنسبة للزوج α وβ في حقول المتجهات المشتركة، وتعريف المتري المعكوس المُطبق على هذين المتجهين من خلال:

g~(α,β)=α[f]G[f]1β[f]T

 

 

 

 

(6)

التعريف الناتج على الرغم من أنه يشمل اختيار القاعدة fإلا أنه لا يعتمد فعليًا على fبطريقةٍ أساسية، ففي الواقع تغيير القاعدة إلى fAيعطي:

α[fA]G[fA]1β[fA]T=(α[f]A)(A1G[f]1(A1)T)(ATβ[f]T)=α[f]G[f]1β[f]T.

حيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة (6) لا يتأثر بتغيير القاعدة fإلى أي قاعدة أخرى fAعلى الإطلاق، وبالتالي يمكن تخصيص المعادلة لمعنى بغض النظر عن اختيار القاعدة، يُشار إلى مدخلات المصفوفة G[f]بواسطة gij، حيث تم رفع المؤشرين i و j للإشارة إلى قانون التحول (5).

رفع وخفض المؤشرات

في قاعدة حقول المتجهات f = (X 1... X n) يمكن كتابة أي حقل متجهات ناعم مماسي X من خلال النموذج التالي:

X=v1[f]X1+v2[f]X2++vn[f]Xn=f[v1[f]v2[f]vn[f]]=fv[f]

 

 

 

 

(7)

لبعض الاقترانات الناعمة المحددة بشكل فريد v1, ..., vnعند تغيير القاعدة fبواسطة مصفوفة غير أحادية A، تتغيير المعامِلات viبالطريقة المذكورة في المعادلة (7) حيث تبقى صحيحة، وهذا يعني أن:

X=fAv[fA]=fv[f].

وبالتالي v[fA] = A−1v[f]، بمعنى آخر تتحول مُرَكِّبات المتجه بشكل متناقض (عكسي) بسبب التغيير في القاعدة بواسطة المصفوفة غير الأحادية A، ويُحدد تناقض مُرَكِّبات v[f]بصورةٍ تشكيلية بوضع المؤشرات vi[f]في الموضع العلوي.

يُسمح للإطار أيضًا بالتعبير عنه باستخدام المتجهات المشتركة بدلالة مُرَكِّباتها، ولقاعدة حقول المتجهات f = (X1, ..., Xn)عُرِفت القاعدة المزدوجة لتكون خطية الوظائف (θ1[f], ..., θn[f])أي أن:

θi[f](Xj)={1ifi=j0ifi=j.

حيث، θi[f](Xj) = δji: دلتا كرونكر. فلنفترض التالي:

θ[f]=[θ1[f]θ2[f]θn[f]]

بتغيير القاعدة ffAلمصفوفة غير أحادية A،θ[f]يتحول عن طريق:

θ[fA]=A1θ[f]

يمكن توسيع أي اقتران خطي α في المتجهات المماسية بدلالة القاعدة المزدوجة θ:

α=a1[f]θ1[f]+a2[f]θ2[f]++an[f]θn[f][8pt]=[a1[f]a2[f]an[f]]θ[f][8pt]=a[f]θ[f]

 

 

 

 

(8)

حيث تشير a[f]إلى متجه الصف [ a1[f] ... an[f] ]، والمُرَكِّبات aiتتحول عندما يتم استبدال القاعدة fبـfAبطريقةٍ تبقى فيها المعادلة (8) صحيحة، هذا يعني:

α=a[fA]θ[fA]=a[f]θ[f]

ولأن θ[fA] = A−1θ[f]يتبع ذلك = a[f]A}، أي أن المُرَكِّبات a تتحول بشكل متغاير بواسطة المصفوفة A بدلاً من معكوسها، يُحدد تَغيُر المُركِبات لa[f]بشكلٍ تشكيلي بوضع المؤشرات لai[f]في الموضع السفلي.

الآن وبما أن الموتر المتري يعطي وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المشتركة على النحو التالي بتثبيت Xp:

gp(Xp,):Ypgp(Xp,Yp)

لمتجه المماس Ypيحدد اقتران خطي على مساحة المماس عند p، وتأخذ هذه العملية المتجه Xpعند النقطة p مُنتجةً متجه مشتركgp(Xp, −)في قاعدة حقول المتجهات fإذا كان حقل المتجهات X يمتلك مُرَكِّباتv[f]؛ فإن مُرَكِّبات حقل المتجهات المشترك g(X, −)في القاعدة المزدوجة يُعطى من خلال مدخلات متجه الصف:

a[f]=v[f]TG[f].

بتغيير القاعدة ffAيتحول الجانب الأيمن من هذه المعادلة عن طريق:

v[fA]TG[fA]=v[f]T(A1)TATG[f]A=v[f]TG[f]A

لذلك يتحول a[fA] = a[f]A: a بشكل متغاير. عملية ارتباط المُرَكِّبات المتناقضة لحقل المتجهات field v[f] = [ v1[f] v2[f] ... vn[f] ]T بالمُرَكِّبات المتغيرة لحقل المتجهات المشترك a[f] = [ a1[f] a2[f] … an[f] ]، حيث أن:

ai[f]=k=1nvk[f]gki[f]

يسمى خافض المُؤشِّر.

لرفع المؤشر تُطبق نفس الطريقة ولكن باستخدام المتري المعكوس بدلاً من المتري، فإذا كانت a[f] = [ a1[f] a2[f] ... an[f] ]هي مُرَكِّبات لمتجه مشترك في القاعدة المزدوجة θ[f]؛ فإن متجه العمود:

v[f]=G1[f]a[f]T

 

 

 

 

(9)

يملك مُرَكِّبات تتحول بشكل متناقض:

v[fA]=A1v[f].

بالتالي فإن الكمية X = fv[f]لا تعتمد على اختيار القاعدة fبشكل أساسي لذلك يُحدد حقل المتجهات في M. العملية (9) ترتبط بالمُرَكِّبات المتغيرة للمتجه المشترك a[f]والمُرَكِّبات المتناقضة للمتجه v[f]المُعطى يسمى رافع المؤشر. وفي المُرَكِّبات،(9) هي:

vi[f]=k=1ngik[f]ak[f].

متري مستحث

لنجعل U مجموعة مفتوحة فيn، وليكن φ دالة مستمرة قابلة للتفاضل من U إلى الفضاء الإقليدي ℝ حيث m > n، تعيين φ يسمى الغمر إذا كان تفاضله عن طريق الحقن في كل نقطة في U، وصورة φ تسمى المتشعب الفرعي المغمور، بشكلٍ أكثرَ تحديدًا بالنسبة إلى m = 3مما يعني أن الفضاء الإقليدي المحيط هو 3، ويسمى الموتر المتري المستحث بالشكل الأساسي الأول.

افترض أن φ غُمر في متشعب فرعي MRm، والناتج النقطي الإقليدي المعتاد mهو متري، فعندما يُقتصر على متجهات مماسية في M يعطي وسيلة لأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات المماسية، وهذا ما يسمى بالمتري المستحث.

افترض أن v متجه مماسي عند نقطة في U، ولنعتبر أن:

v=v1e1++vnen

حيث eiهي متجهات الإحداثيات المعيارية في n، وعندما يتم تطبيق φ على U ينتقل المتجه v إلى المتجه المماسي في M المُعطى من خلال:

φ*(v)=i=1na=1mviφaxiea

وهذا ما يسمى الدفع الأمامي لـ v على طول φ، وبإعطاء متجهين من هذا القبيل: v و w، يُعرف المتري المستحث عن طريق:

g(v,w)=φ*(v)φ*(w)

يُتبع من عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة المتري المستحث في قاعدة حقول المتجهات الإحداثيةeتُعطى بواسطة:

G(e)=(Dφ)T(Dφ)

حيث هي المصفوفة اليعقوبية:

Dφ=[[1ex]φ2x1]

التعريفات الجوهرية للمتري

يمكن تعريف مفهوم المتري بشكل جوهري باستخدام لغة حزم الألياف وحزم المتجهات، في هذه المصطلحات الموتر المتري هو اقتران:

g:TM×MTMR

 

 

 

 

(10)

من ضرب الألياف للحزمة المماسية في M مع نفسها في Rبحيث يكون تقييد g لكل ليف هو ربط ثنائي خطي غير منحل:

gp:TpM×TpMR

الارتباط في (10) يجب أن يكون مستمرًا، وغالبًا ما يكون قابلاً للتفاضل بشكل مستمر أوناعمًا أوتحليليًا حقيقيًا، اعتمادًا على الحالة المدروسة وما إذا كان M يمكن أن تدعم مثل هذا التركيب.

متري كجزء من حزمة

بواسطة الخاصية العامة لضرب الموتر، أي تعيين ثنائي خطي (10) يعطي رفع بشكل طبيعي إلى قسم gلثنائي حزمة ضرب الموتر لـ TMمع نفسها:

gΓ((TMTM)*)

يتم تعريف القسم gعلى عناصر بسيطة من TM ⊗ TMمن خلال:

g(vw)=g(v,w)

ويتم تعريفه على العناصر التعسفية لـ TM ⊗ TMمن خلال التوسع خطيًا لمجموعات خطية من العناصر البسيطة، الشكل الثنائي الخطي الأصلي لg متماثل إذاوفقط إذا:

gτ=g

حيث أن:

τ:TMTMTMTM

هي خريطة الشريط.

نظرًا لأن M ذات أبعاد محدودة، فهناك تماثل طبيعي:

(TMTM)*T*MT*M,

بحيث يُنظر إلى gأيضًا كقسم من الحزمة T*M ⊗ T*Mلحزمة ظل التمام T*Mمع نفسها، ونظرًا لأن g متماثل كتركيب الثنائي الخطي، فهو يتبع أن gموتر متماثل .

متري في حزمة متجه

بشكلٍ عام يمكن أن التحدث عن متري في حزمة متجه، فإذا كانت E عبارة عن حزمة متجه على متشعب M؛ فإن المتري هو تعيين:

g:E×MER

من ضرب الألياف من E إلى Rوهو ثنائي خطي في كل ليف:

gp:Ep×EpR.

باستخدام الازدواجية على النحو الوارد أعلاه غالبًا ما يتم تعريف المتري بجزء من حزمة ضرب الموتر E* ⊗ E*.

تماثل مماس ظل التمام

يعطي الموتر المتري تماثلًا طبيعيًا من حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام والتي تسمى أحيانًا التماثل الموسيقي،[6] هذا التشابه حُصل عليه عن طريق الضبط، لكل متجه مماس Xp ∈ TpM:

SgXp=defg(Xp,),

الدالة الخطية في TpMالتي ترسل متجهًا مماسيًا Ypعند p ل gp(Xp,Yp)، هذا هو من حيث الاقتران [- ، -] بين TpMومساحتها المزدوجة T
p
M
:

[SgXp,Yp]=gp(Xp,Yp)

لجميع المتجهات المماسية Xpو Ypو التعيين Sgهو تحول خطي من TpMإلى T
p
M
، ويترتب على تعريف عدم الانحلال أن الكيرنل ل Sgيُخفض إلى الصفر، وبالتالي من خلال نظرية الرتبة-الصفرية؛ فإن Sgهو تماثل خطي، علاوةً على ذلك Sgعبارة عن تحول خطي متماثل بمعنى أن:

[SgXp,Yp]=[SgYp,Xp]

لجميع متجهات المماس Xpو Yp.

على العكس من ذلك فإن أي تماثل خطي S : TpM → T
p
M
مُعرّفًا شكلًا ثنائيًا خطيًا غير منحل على TpMعن طريق:

gS(Xp,Yp)=[SXp,Yp].

هذا الشكل الخطي متماثل إذا وفقط إذا كانت S متماثلة، وبالتالي هناك تطابق طبيعي واحد لواحد بين الأشكال ثنائية الخطية المتماثلة فيTpMوالتماثل الخطي المتماثل في TpMللمزدوج T
p
M
.

نظرًا لأن p يتغير في M، ويعرف Sgقِسمًا من حزمة Hom(TM, T*M)من تماثل حزمة متجه حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام، هذا القسم له نفس نعومة g: إنه مستمر، أو قابل للتفاضل، أو ناعم، أو تحليلي حقيقي وفقًا لـ g، تمثيل Sgالذي يرتبط بكل حقل المتجهات الموجود على M يعطي حقل المتجهات المشترك على M صيغة مجردة لـ «خافض المؤشر» في حقل متجه، ومعكوس Sgهو تعيين T*M → TMوالذي بالقيياس يعطي صيغة مجردة لـ «رافع المؤشر» في حقل المتجهات المشترك.

المعكوس S−1
g
يعرّف التعيين الخطي على أنه:

Sg1:T*MTM

وهو غير أحادي ومتماثل بمعنى أن:

[Sg1α,β]=[Sg1β,α]

لجميع المتجهات المشتركة: α وβ، يؤدي مثل هذا التعيين المتماثل غير أحادي إلى ظهور الخريطة من خلال دالة الموتر-هوم (Hom):

T*MT*MR

أو عن طريق تماثل مزدوج ثنائي لجزء الضرب الموتر:

TMTM.

طول القوس وعنصر الخط

افترض أن g ريماني متري في M، وفي نظام إحداثيات محلي xiأن: I = 1, 2, …, n، فيظهر موتر متري كمصفوفة يُشار إليها هنا بواسطة Gالتي تكون مدخلاتها هي المُرَكِّبات gijللموتر المتري بالنسبة لحقول المتجهات الإحداثية.

لنفترض أن γ(t)منحنى حدودي قابل للتفاضل متعدد المتغيرات في M لatb، يُحدد طول القوس من خلال:

L=abi,j=1ngij(γ(t))(ddtxiγ(t))(ddtxjγ(t))dt

فيما يتعلق بهذا التطبيق الهندسي هو الشكل التفاضلي التربيعي:

ds2=i,j=1ngij(p)dxidxj

يسمى الشكل الأساسي الأول المرتبط بالمتري، وبينما ds هو عنصر الخط، فإنه عندما تُسحب ds2مرةً أخرى إلى صورة المنحنى في M فهي تمثل مربع التفاضل بالنسبة لطول القوس.

بالنسبة للريماني المتري الزائف لا يتم تعريف معادلة الطول أعلاه دائمًا؛ لأن الحد تحت الجذر التربيعي قد يصبح سالبًا، وبشكلٍ عام نحن فقط نحدد طول المنحنى عندما تكون الكمية الموجودة تحت الجذر التربيعي علامة واحدة أو أخرى دائمًا، ففي هذه الحالة يُحدد بواسطة:

L=ab|i,j=1ngij(γ(t))(ddtxiγ(t))(ddtxjγ(t))|dt

لاحظ أنه بينما تستخدم هذه الصيغ التعبيرات الإحداثية إلا أنها في الواقع مستقلة عن الإحداثيات المُختارة؛ حيث تعتمد هذه الصيغ فقط على المتري والمنحنى على طول الصيغ المُكاملة.

الطاقة والمبادئ المتغيرة والجيوديسية

بالنظر إلى جزء من منحنى ما هناك كمية أخرى محددة بشكل متكرر وهي الطاقة الحركية للمنحنى:

E=12abi,j=1ngij(γ(t))(ddtxiγ(t))(ddtxjγ(t))dt

يأتي هذا الاستخدام من الفيزياء تحديداً الميكانيكا الكلاسيكية، حيث يمكن ملاحظة أن التكامل E على أنه يتوافق مباشرةً مع الطاقة الحركية لجسم نقطي يتحرك على سطح متشعب؛ لذلك على سبيل المثال في صيغة ياكوبي لمبدأ موبرتويس يمكن ملاحظة الموتر المتري على أنه يتوافق مع كتلة الموتر للجسم المتحرك.

في كثير من الحالات، كلما دعت عملية حسابية إلى استخدام الطول يمكن إجراء حساب مماثل باستخدام الطاقة أيضًا، وهذا غالبًا ما يؤدي إلى أبسط الصيغ عن طريق تجنب الحاجة إلى استخدام الجذر التربيعي، وبالتالي على سبيل المثال يمكن الحصول على المعادلات الجيوديسية من خلال تطبيق مبادئ التغيير إما على الطول أو الطاقة، في الحالة الأخيرة يُنظر إلى المعادلات الجيوديسية على أنها تنشأ من مبدأ الفعل الأدنى، فهي تصف حركة «الجسم الحر» (يشعر الجسم بعدم وجود قوى تؤثر عليه) المقيد بالتحرك في المتشعب ولكنه يتحرك بحرية مع زخم ثابت داخل المتشعب.[7]

قياس كنسي وشكل الحجم

بالتشابه مع حالة الأسطح فإن الموتر المتري على متشعب باراكومباكت M ذو أبعاد عدد n يعطي ظهور لطريقة طبيعية لقياس حجم الأبعاد n لمجموعات فرعية من المتشعب، ويسمح مقياس بورل الطبيعي الناتج لتطوير نظرية الاقترانات المُكامَلة في المشعب عن طريق الوسائل المرتبطة بتكامل لوبيغ.

يمكن تعريف المتري من خلال نظرية ريسز التمثيلية، ومن خلال إعطاء دالة خطية موجبة Λ في الفضاء C0(M)لاقتران مستمر مدعوم مختصر في M، بتعبيرٍ أدق إذا كان M مشعب مع موتر متري ريماني زائف g فهناك مقياس بوريل موجب فريد μgمثل أي مخطط إحداثي (U, φ)فإن:

Λf=Ufdμg=φ(U)fφ1(x)|detg|dx

لجميع f المدعومة في U، وهناdet gهو محدد المصفوفة المكونة من مُرَكِّبات الموتر المتري في المخطط الإحداثي، وΛ محدد جيد للاقترانات المدعومة في منطقة الإحداثيات مُسوغ من خلال التغيير الياكوبي للمتغيرات، ويمتد إلى دالة خطية موجبة فريدة في C0(M)بواسطة وسائل تقسيم الوحدة.

إذا كان M موجه أيضًا فمن الممكن تحديد شكل الحجم الطبيعي من الموتر المتري، ففي نظام إحداثيات موجه موجب (x1, ..., xn)فإن نموذج الحجم يُمثل مثل التالي:

ω=|detg|dx1dxn

حيث dxiهي الإحداثية التفاضلية، وتشير إلى الضرب الخارجي في جبر الأشكال التفاضلية، ويعطي شكل الحجم أيضًا طريقة لتكامل الاقترانات الموجودة في المشعب، وهذا التكامل الهندسي يتوافق مع التكامل الذي حُصل عليه بواسطة مقياس بوريل الكنسي.

أمثلة

متري إقليدي

المثال الأكثر شيوعًا في الهندسة الإقليدية الأولية هو الموتر الإقليدي ثنائي الأبعاد، ففي الإحداثيات المعتادة (x, y)يمكننا كتابة:

g=[1001]

طول المنحنى يُختصر للصيغة التالية:

L=ab(dx)2+(dy)2

يمكن كتابة المتري الإقليدي في بعض أنظمة الإحداثيات الشائعة الأخرى على النحو التالي:

في الإحداثيات القطبية (r, θ):

x=rcosθy=rsinθJ=[cosθrsinθsinθrcosθ]

لذلك:

g=JTJ=[cos2θ+sin2θrsinθcosθ+rsinθcosθrcosθsinθ+rcosθsinθr2sin2θ+r2cos2θ]=[100r2]

عن طريق المطابقات المثلثية.

بشكل عام في نظام الإحداثيات الديكارتية xiفي الفضاء الإقليدي، والمشتقات الجزئية ∂ / ∂xiمتعامدة بالنسبة للإقليدي المتري؛ لذلك فإن الموتر المتري هو دلتا كرونكر δij في نظام الإحداثيات هذا. الموتر المتري بالنسبة للإحداثيات التقريبية ربما تكون منحنية qiتُعطى بواسطة:

gij=klδklxkqixlqj=kxkqixkqj

المتري الدائري في الكرة

كرة الوحدة في 3تأتي مزودةً بمقياس طبيعي ناتج من المتري الإقليدي المحيط من خلال العملية الموضحة في قسم المتري المستحث، في الإحداثيات الكروية القياسية (θ, φ)مع θالخطية، والزاوية المقاسة من المحور z ، والزاويةφ المقاسة من المحور x في المستوى xy؛ فإن المتري يأخذ الشكل:

g=[100sin2θ]

عادةً تُكتب على هذا النموذج:

ds2=dθ2+sin2θdφ2

لورنتزيان المتري في النسبية

في فضاء مينكوفسكي المسطح في النسبية الخاصة ومع الإحداثيات:

rμ(x0,x1,x2,x3)=(ct,x,y,z)

اعتمادًا على اختيار شكل متري فإن المتري هو:

g=[1000010000100001]وأg=[1000010000100001]

بالنسبة لمنحنى مع إحداثيات زمنية ثابتة على سبيل المثال؛ فإن صيغة الطول لهذا المتري تُقلل إلى صيغة الطول المعتادة، حيث أنه لمثل منحنى الوقت صيغة الطول تُعطي الزمن المناسب على طول المنحنى.

في هذه الحالة تُكتب فترة الزمكان بالشكل التالي:

ds2=c2dt2dx2dy2dz2=drμdrμ=gμνdrμdrν

مصفوفة شوارزشيلد يصف الزمكان حول جسم كروي متماثل ككوكب أو ثقب أسود مع الإحداثيات التالية:

(x0,x1,x2,x3)=(ct,r,θ,φ)

يمكننا كتابة المتري كـالآتي:

gμν=[(12GMrc2)0000(12GMrc2)10000r20000r2sin2θ]

حيث G داخل المصفوفة: هو ثابت الجاذبية ويمثل M إجمالي محتوى الطاقة والكتلة للجسم المركزي.

انظر أيضًا

ملاحظات

  1. ^ بشكل أدق فالكمية المتكاملة (المكامل) هو رجوع هذا الفارق للمنحنى.
  2. ^ في العديد من الصيغ لنظريات التوحيد الكبير سُمح للموتر المتري بأن يكون غير متماثل، ومع ذلك فإن الجزء غير المتماثل من هذا الموتر لا يلعب دورًا في السياقات الموصوفة هنا؛ لذلك لن يتم النظر فيه بشكل أكبر.
  3. ^ الكتابة باستخدام الأقواس المربعة للإشارة إلى القاعدة بطريقةٍ تحسب من خلالها المركبات، هذه الرموز المستخدمة صُوغت على غرار تلك الموجدة في Wells (1980)، وعادةً يُخفى هذا الاعتماد المحدد على القاعدة.
  4. ^ Dodson & Poston 1991، فصل سابع § 3.04
  5. ^ Vaughn 2007، §3.4.3
  6. ^ لمصطلح "التماثل الموسيقي" انظر إلى Gallot, Hulin & Lafontaine (2004, p. 75)، وانظر أيضًا Lee (1997, pp. 27–29).
  7. ^ Sternberg 1983

مراجع

  • Dodson، C. T. J.؛ Poston، T. (1991)، Tensor geometry، Graduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، Berlin, New York: Springer-Verlag، ج. 130، DOI:10.1007/978-3-642-10514-2، ISBN:978-3-540-52018-4، MR:1223091
  • Gallot، Sylvestre؛ Hulin، Dominique؛ Lafontaine، Jacques (2004)، Riemannian Geometry (ط. 3rd)، Berlin, New York: Springer-Verlag، ISBN:978-3-540-20493-0.
  • Gauss، Carl Friedrich (1827)، General Investigations of Curved Surfaces، New York: Raven Press (نُشِر في 1965)، مؤرشف من الأصل في 2023-01-08 translated by A. M. Hiltebeitel and J. C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
  • Hawking، S.W.؛ Ellis، G.F.R. (1973)، The large scale structure of space-time، Cambridge University Press.
  • Kay، David (1988)، Schaum's Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus، McGraw-Hill، ISBN:978-0-07-033484-7.
  • Kline، Morris (1990)، Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3، Oxford University Press.
  • Lee، John (1997)، Riemannian manifolds، Springer Verlag، ISBN:978-0-387-98322-6.
  • Michor، Peter W. (2008)، Topics in Differential Geometry، Graduate Studies in Mathematics، Providence: American Mathematical Society، ج. 93 (to appear).
  • Misner، Charles W.؛ Thorne، Kip S.؛ Wheeler، John A. (1973)، Gravitation، W. H. Freeman، ISBN:0-7167-0344-0
  • Ricci-Curbastro، Gregorio؛ Levi-Civita، Tullio (1900)، "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications"، Mathematische Annalen، ج. 54، ص. 125–201، DOI:10.1007/BF01454201، ISSN:1432-1807، S2CID:120009332، مؤرشف من الأصل في 2022-11-22
  • Sternberg، S. (1983)، Lectures on Differential Geometry (ط. 2nd)، New York: Chelsea Publishing Co.، ISBN:0-8218-1385-4
  • Vaughn، Michael T. (2007)، Introduction to mathematical physics (PDF)، Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co.، DOI:10.1002/9783527618859، ISBN:978-3-527-40627-2، MR:2324500، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-02-12
  • Wells، Raymond (1980)، Differential Analysis on Complex Manifolds، Berlin, New York: Springer-Verlag، مؤرشف من الأصل في 2022-01-21