معيار (رياضيات)

  لمعانٍ أخرى، طالع معيار (توضيح).

في الجبر الخطي والتحليل الدالي والمجالات المتعلقة بهما في الرياضيات، معيار أو نظيم (بالإنجليزية: Norm)‏ هو دالة تعطي عددا حقيقيا موجبا لكل متجهة من فضاء متجهي ما. بحيث تحقق ثلاث خاصيات محددة (أنظر التعريف).

تعريف

ليكن $E$ فضاء متجهي معرف على حقل $K$مزود بقيمة مطلقة $|\cdot |$

نعرف المعيار على أنه كل دالة $\mathcal{N}$:$$\begin{array}{rr}\mathcal{N}:& E⟶\mathbb{R}\\ & x⟼\mathcal{N}\mathcal{(}\mathcal{x}\mathcal{)}\\ \end{array}$$حيث : $\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2\mathrm{\forall }\lambda \in K$

• $\mathcal{N}(x)=0⟹x=0_E$ (حيث $0_E$هي المتجهة المنعدمة ) .
• $\mathcal{N}(\lambda x)=\left|\lambda \right|\mathcal{N}(x)$ (التجانس المطلق).
• $\mathcal{N}(x+y)\le \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$ (متباينة المثلث).

ملاحظة بخصوص التعريف

بعض الكتب تشترط في تعريفها أن تحقق $\mathcal{N}$ خاصية أخرى وهي $\mathcal{N}(x)\ge 0$ لكل $x$ من $E$

لكنه لا توجد ضرورة لإدراجها في التعريف ما دامت الخاصيات المذكورة في التعريف تستلزم تحقيق هذه الخاصية :

$0=\mathcal{N}(0_E)=\mathcal{N}(x+(-x))\le \mathcal{N}(x)+|-1|\mathcal{N}(x)=2\mathcal{N}(x)$$$⟹0\le \mathcal{N}(x)$$

أمثلة

المعيار الاقليدي

في فضاء متجهي إقليدي $E$ وهو فضاء متجهي $E$ معرف على حقل الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ مزود بجداء سلمي $⟨x|y⟩$ (لكل عنصر$x$ و $y$من $E$) و بُعده منتهٍ كمثال الفضاء المتجهي ${\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$

نعرف ونرمز للمعيار الاقليدي بـ :

$\Vert x\Vert =\Vert x{\Vert }_2:=\sqrt{⟨x|x⟩}$

في حالة المثال ${\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ يكون الجداء السلمي غالبا (لأنه يمكن إنشاء جداء سلمي مختلف ) :

$⟨x|y⟩:=\sum _{k=1}^n{x}_k.y_k$

انظر أيضا

• فضاء متجهي معياري

||x|| و ||−x|| ليسا بالضرورة متساويين.