دالة متجهية

دالة ذات قيمة متجهية ، والتي يشار إليها أيضًا باسم دالة متجهية ، هي دالة رياضية لمتغير واحد أو أكثر يكون مداها عبارة عن مجموعة من المتجهات متعددة الأبعاد أو متجهات لا نهائية الأبعاد . يمكن أن تكون مدخلات الدالة المتجهية عدداً أو متجهًا (أي أن أبعاد المجال يمكن أن تكون 1 أو أكبر من 1) ؛ لا يتم تحديد بُعد مجال الدالة بواسطة بُعد النطاق.

مثال: اللولب

رسم بياني للدالة المتجهية r(Z) = 〈2 cos Z, 4 sin Z, Z〉

من الأمثلة الشائعة لدالة متجهية هي تلك التي تعتمد على متغير حقيقي واحد $t$ ، غالبًا ما تمثل الوقت ، مما ينتج متجهًا $v(t)$ كنتيجة. من حيث متجهات الوحدة القياسية $i,j,k$ لنظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تمثيل هذه الأنواع المحددة من الدوال المتجهية بواسطة علاقات مثل :

• $\mathbf{𝐫}(t)=f(t)\mathbf{𝐢}+g(t)\mathbf{𝐣}+h(t)\mathbf{𝐤}$

حيث $f(t)$ و$g(t)$ و $g(t)$ هي دوال إحداثيات للمتغير t ، ومنطلق هذه الدالة ذات القيمة المتجهية هو تقاطع مجال الوظائف $f$ و $g$ و $h$ . يمكن تمثيل هذه الدوال المتجهية بطريقة مختلفة :

• $\mathbf{𝐫}(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$

المتجه $r(t)$ له ذيله في الأصل ورأسه عند الإحداثيات التي يتم اعطائها بواسطة الدالة.

في المستوى (2D)، يمكننا تمثيل الدوال المتجهية كالآتي :

• $\mathbf{𝐫}(t)=f(t)\mathbf{𝐢}+g(t)\mathbf{𝐣}$ أو
• $\mathbf{𝐫}(t)=⟨f(t),g(t)⟩$

الحالة الخطية

في الحالة الخطية ، يمكن التعبير عن الدالة المتجهية بواسطة المصفوفات :

$y=Ax+b$

حيث

$y$

عبارة عن متجه أبعاده هي

$n\times 1$

،

$x$

هو متجه مدخل أبعاده هي

$k\times 1$

، و

$A$

عبارة عن مصفوفة أبعادها هي

$n\times k$

، و b متجه n × 1 للمعلمات .

تستعمل الحالة الخطية غالبًا في تحليل الانحدار.

مشتق دالة متجهية ثلاثية الأبعاد

يمكن اشتقاق العديد من الدوال المتجهية ، مثل الدوال ذات القيمة العددية ، ببساطة عن طريق اشتقاق الإحداثيات في نظام الإحداثيات الديكارتية. وهكذا ، إذا

$\mathbf{𝐫}(t)=f(t)\mathbf{𝐢}+g(t)\mathbf{𝐣}+h(t)\mathbf{𝐤}$

هي دالة متجهية ، إذن فإشتقاقها هو

$\frac{d\mathbf{𝐫}(t)}{dt}=f^{\prime }(t)\mathbf{𝐢}+g^{\prime }(t)\mathbf{𝐣}+h^{\prime }(t)\mathbf{𝐤}$

يقبل مشتق المتجه التأويل الفيزيائي التالي: إذا كان

$r(t)$

يمثل موضع جسيم ، فإن المشتق هو سرعة هذا الجسيم

$\mathbf{𝐯}(t)=\frac{d\mathbf{𝐫}(t)}{dt}$

وبالمثل ، فإن مشتق السرعة هو التسارع

$\frac{d\mathbf{𝐯}(t)}{dt}=\mathbf{𝐚}(t)$

انظر أيضًا

• حقل متجهات
• منحنى
• تمثيل وسيطي

مراجع

• Kane، Thomas R.؛ Levinson، David A. (1996)، "1–9 Differentiation of Vector Functions"، Dynamics Online، Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.، ص. 29–37
• Hu، Chuang-Gan؛ Yang، Chung-Chun (2013)، Vector-Valued Functions and their Applications، Springer Science & Business Media، ISBN:978-94-015-8030-4، مؤرشف من الأصل في 2021-06-29