زمرة جزئية

الزمرة الجزئية (بالإنجليزية: Subgroup)‏ هي المجموعة الجزئية $H$ من عناصر الزمرة $G$ التي تحقق بديهيات الزمر الأربع، وبالتالي يجب أن تضم العنصر المحايد. للتعبير عن جزئية زمرة من أخرى، يُقال شفهيًّا "$H$ هي زمرة جزئية من $G$"، وتُكتب رمزيًّا $H\subseteq G$، وتُكتب أحيانًا $H\le G$. يجب أن تكون رتبة الزمرة الجزئية من الزمرة التي رتبتها $h$ عددا قاسمًا لـ$h$. ويُقال على الزمرة الجزئية $H$ التي لا تضم كل عناصر الزمرة $G$ أنها زمرة جزئية فعلية، ويُرمز لهذه العلاقة بـ$H\subset G$ أو $H<G$.

زمرة جزئية طبيعية

في الرياضيات، تكون N زمرة جزئية طبيعية من الزمرة G إذا كانت زمرة جزئية غير متباينة invariant بالنسبة لعملية الترافق conjugation.

من أجل كل عنصر n من N وكل عنصر g من G فإن العنصر g⁻¹ng يبقى موجودا ضمن N.

يمكن كتابة عبارة (N مجموعة جزئية طبيعية من G) كما يلي :

$N◃G$.

المجموعات المشاركة ومبرهنة لاغرانج

المقالات الرئيسية: مجموعة مشاركة ومبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)

هي الزمرة $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, مكونة من الأعداد الطبيعية بتردد 8 تحت عملية الجمع. الزمرة الجزئية H تحتوي على العنصرين 0 و4 فقط وهي في تقابل مع $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. هناك أربع مجموعات مشاركة يسارية للزمرة H: H ذاتها و 1+H و 2+H و 3+H (كُتبن في ترميز جمعي بما أن الزمرة ذاتها هي زمرة أبيلية). جميعهن يجزئن الزمرة G كلها إلى مجموعات جزئية متساوية من حيث عدد العناصر ومنعزلات بعضهن عن البعض. إذن، مؤشر [G: H] هو 4.

تنص مبرهنة لاغرانج على أنه كانت G زمرة منتهية وH زمرة جزئية منها فإن :

$[G:H]=\frac{\left|G\right|}{\left|H\right|}$

حيث |G| و |H| يشيران إلى رتبة الزمرتين G و H على التوالي. وبشكل خاص، رتبة كل عنصر من الزمرة G هو قاسم لرتبها. انظر إلى زمرة جزئية نظامية.

شبه الزمرة الجزئية

في الرياضيات، شبه الزمرة الجزئية للزمرة G ، هي مجموعة جزئية من G تحقق كونها نصف زمرة semigroup مغلقة بالنسبة للجداء في هذه الزمرة.

انظر أيضا

• اختبار الزمرة الجزئية