قوس الجيب

دالة قوس الجيب
التمثيل البياني للدالة التمثيل البياني للدالة
تدوين	$\arcsin x$
دالة عكسية	$\sin x$ على المجال $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
مشتق الدالة	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
مشتق عكسي (تكامل)	$x\arcsin (x)+\sqrt{1-x^2}+C$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$[-1,1]$
المجال المقابل	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
الحدود الأعلى	1
الحدود الأدنى	-1
القيمة/النهاية عند 1	$\frac{\pi }{2}$
القيمة/النهاية عند -1	$-\frac{\pi }{2}$
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0

في الرياضيات، دالة قوس الجيب (بالإنجليزية: Arcsine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة الجيب، مستقرها هو $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ arcsin أو sin ^-1. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الجيب المثلثية المقتصرة إلى المجال $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

مشتق

دالة الجيب العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:

${{\arcsin }^{\prime }}^{\prime }x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{d}{dx}\arcsin x$

نضع $\theta =\arcsin x$:

$\frac{d\theta }{d\sin \theta }=\frac{d\theta }{d\theta \cos \theta }=\frac{1}{\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

إذا كانت $\left|z\right|\le 1$،

$\begin{array}{rr}\arcsin z& =z+\frac{1}{2}\cdot \frac{z^3}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{z^5}{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{z^7}{7}+\dots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{z^{2n+1}}{2n+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})z^{2n+1}}{4^n(2n+1)}.\end{array}$

حيث $(n)!!$ هو عاملي ثنائي.

برهان

متسلسلة تايلور للدالة المستقة هي:

$\begin{array}{rr}\arcsin \text{'}(z)& =(1-z^2{)}^{-\frac{1}{2}}\\ & =1+(-\frac{1}{2})(-z^2)+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2}(-z^2{)}^2+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{2\cdot 3}(-z^2{)}^3+\cdots \\ & =1+\frac{1}{2}{z}^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}{z}^4+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}{z}^6+\dots ,\end{array}$

بمكاملتها نتحصل على المتسلسلة غير المنتهية للدالة.

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :

 $\arcsin x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$

المشتق العكسي

arccos x (بالأزرق) و arcsin x (بالأحمر)

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :

$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

من أجل كل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 : $\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi }{2}$

على المستوي المركب

التمثيل البياني اللوني للدالة $\arcsin z$

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام اللوغاريتم العقدي:

$\arcsin x=-i\ln (ix+\sqrt{1-x^2})$

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة جيب التمام العكسية
• دالة الظل العكسية