اقتصار (رياضيات)

الدالة $x^2$ ليس لديها دالة عكسية على المجال $.\mathbb{R}$ إذا قمنا باقتصار $x^2$ على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة، عندها يكون لها دالة عكسية، المعروفة بأسم الجذر التربيعي لـ$x$.

في الرياضيات، اقتصار دالة $f$ هي دالة جديدة يرمز لها بـ $f{|}_A$ أو $f{\upharpoonright }_A$، يُحْصَلُ عليها من خلال اختيار أصغر مجال للدالة الأصلية $f$.

تعريف

بفرض أن $f:E\to F$ هي دالة من مجموعة $E$ لمجموعة $F$، وإذا كانت المجموعة $A$ هي مجموعة فرعية من $E$، فإن اقتصار $f$ على $A$ هي الدالة:$$f_{|}:A\to F$$حيث $f_{|}(x)=f(x)$ لكل قيم $x\in A$، بمعنى أن اقتصار $f$ على $A$ هي نفس الدالة $f$، ولكن معرفة فقط على $A$.

إذا نظرنا للدالة $f$ على أنها علاقة رياضية $(x,f(x))$ في الجداء الديكارتي $E\times F$، فإن اقتصار $f$ على $A$ يمكن تمثيله بالرسم البياني الخاص بها $G(f_{|})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),$ حيث العلاقة $(x,f(x))$ تمثل الأزواج المرتبة في الرسم البياني $.G$

امتدادات

يُقال أن دالة $F$ امتداد ( باللغة الأنجليزية "extension") دالة أخرى $f$ إذا كان في كل مرة تكون $x$ في مجال $f$، فإنها أيضا في مجال $F$ و $f(x)=F(x)$. تحديدًا إذا كانت $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}f\subseteq \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}F$ و $.F{|}_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}f}=f$

الامتداد الخطي (باللغة الأنجليزية "linear extension" وأيضًا الامتداد المستمر) للدالة $f$ هو تحويل خطي لـ $f$ (وأيضًا تحويل مستمر).

أمثلة

1. اقتصار الدالة الغير متباينة $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$ على المجال ${\mathbb{R}}_{+}=[0,\mathrm{\infty })$ هو التباين $f:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$.
2. دالة المضروب تنتج من اقتصار الدالة غاما على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة لأننا نطرح 1 من $n$ ، أي: ${\mathrm{\Gamma }}_{|}(n)=(n-1)!$.

خصائص الاقتصار

• اقتصار دالة $f:X\to Y$ على المجال بأكمله $X$ يعيد إلى الدالة الأصلية، أي $f{|}_X=f$ .
• اقتصار دالة مرتين هو نفسه اقتصارها مرة واحدة، أي إذا كان $A\subseteq B\subseteq \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f$ ، فإنّ:$(f{|}_B){|}_A=f{|}_A$ .
• اقتصار الدالة المحايدة المعرفة على مجموعة $X$ على مجموعة فرعية $A$ من $X$ هو مجرد تباين قانوني من $A$ إلى $.X$
• اقتصار دالة مستمرة هو عبارة عن دالة مستمرة.

تطبيقات

دوال عكسية

المقالة الرئيسية: دالة عكسية

لكي يكون لـ الدالة $f$ دالة عكسية، يجب أن تكون تقابلية، وإذا لم تكن f كذلك، يمكن تحديد دالتها العكسية عن طريق اقتصارها (تقييدها) على جزء من المجال.

على سبيل المثال، دالة $f(x)=x^2$المُعرّفة عموماً على $\mathbb{R}$ ليست تقابلية لأن $x^2=(-x{)}^2$ وذلك لكل $x$ من $.\mathbb{R}$

ومع ذلك، تصبح الدالة $f(x)=x^2$ تقابلية إذا اقتصرنا على المجال ${\mathbb{R}}_{\ge 0}=[0,\mathrm{\infty }[$، في هذه الحالة

$f^{-1}(y)=\sqrt{y}$

ملاحظة:

إذا كنا نود أن نقتصر على المجال $]-\mathrm{\infty },0]$، فإن دالتها العكسية ستكون( $-\sqrt{y}$) بدلًا من ذلك، ليست هناك حاجة لاقتصار المجال إذا كنا لا نريد إيجاد الدالة العكسية كونها دالة متعددة القيم.

الحزم

المقالة الرئيسية: حزمة (رياضيات)

انظر أيضاً

• قيد
• انكماش تشويهي
• علاقة ثنائية