متسلسلة ذات حدين

في الرياضيات، متسلسلة ذات حدين هي متسلسلة تايلور في النقطة x = 0 للدالة f(x) = (1 + x) ^α حيث α ∈ C هو عدد عقدي ما.

$\begin{array}{rr}(1+x{)}^{\alpha }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k(1)\\ & =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,\end{array}$

أمثلة

• ‌ $(1+x{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})x^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})x^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})x^2=1+2x+x^2$
• $\frac{1}{1+x}=(1+x{)}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{k})x^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^k=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots$
• ‌ $\sqrt{1+x}=(1+x{)}^{1/2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{k})x^k=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\frac{7x^5}{256}-\cdots$
• ‌ $\frac{1}{\sqrt{1-x}}=(1-x{)}^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{k})x^k=1+\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{2}+\frac{5x^3}{6}+\frac{35x^4}{128}+\frac{63x^5}{256}+\cdots$

انظر أيضا

• ثنائي حد الكرخي-نيوتن