صيغة مشابهة لصيغة ماشن

في الرياضيات، الصيغ المشابهة لصيغة ماشن هي صنف خاص من المتطابقات المحتوية على π = 3.14159... والتي تعمم صيغة جون ماشن. يعود تاريخ هاته الصيغة إلى عام 1706.

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239},$

للصيغ المشابهة لصيغة ماشن الشكل التالي :

$\frac{\pi }{4}=\sum _n^N{a}_n\arctan \frac{1}{b_n}$

حيث $a_n$ و $b_n$ أعداد صحيحة.

الاستنتاج

نظرا إلى قائمة المطابقات المثلثية، يُحصل على المتطابقتين التاليتين :

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

بوضع :

$\sin (\alpha )=a_1$ ،$\sin (\beta )=a_2$

$\cos (\alpha )=b_1$ ،$\cos (\beta )=b_2$

نجد أن:

$\arctan \frac{a_1}{b_1}+\arctan \frac{a_2}{b_2}=\arctan \frac{a_1{b}_2+a_2{b}_1}{b_1{b}_2-a_1{a}_2},$

(3)

إذا توفر ما يلي : $-\frac{\pi }{2}<\arctan \frac{a_1}{b_1}+\arctan \frac{a_2}{b_2}<\frac{\pi }{2}.$

$2\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{1*5+1*5}{5*5-1*1}$

$=\arctan \frac{10}{24}$

$=\arctan \frac{5}{12}$

$4\arctan \frac{1}{5}$

$=2\arctan \frac{1}{5}+2\arctan \frac{1}{5}$

$=\arctan \frac{5}{12}+\arctan \frac{5}{12}$

$=\arctan \frac{5*12+5*12}{12*12-5*5}$

$=\arctan \frac{120}{119}$

$4\arctan \frac{1}{5}-\frac{\pi }{4}$

$=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{1}$

$=4\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{-1}{1}$

$=\arctan \frac{120}{119}+\arctan \frac{-1}{1}$

$=\arctan \frac{120*1+(-1)*119}{119*1-120*(-1)}$

$=\arctan \frac{1}{239}$

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$