تدوين متعدد الأدلة

تدوين متعدد الأدلة (بالإنجليزية: Multi-index notation)‏ هو تدوين رياضي يبسط الصيغ المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والمعادلات التفاضلية الجزئية ونظرية التوزيعات، من خلال تعميم مفهوم دليل صحيح العدد على مجموعة مرتبة من الأدلة.

التعريف والخصائص الأساسية

متعدد الأدلة نوني الأبعاد (n أبعاد) هو ذو n عنصر:

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$

من الأعداد الطبيعية (أي عنصر من مجموعة الأعداد الطبيعية النونية الأبعاد، يشار إليها بـ ${\mathbb{N}}_0^n$ ).

لمتعدد الأدلة $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ و $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$، نعرِّف:

مركب المجموع أو الفرق

$\alpha \pm \beta =({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n)$

مجموعة مرتبة جزئيا:

$\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$

مجموع المكونات (القيمة المطلقة):

$\left|\alpha \right|={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$

عاملي:

$\alpha !={\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!$

معامل ثنائي الحد:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n})=\frac{\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}$

معامل متعدد الحدود:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\alpha })=\frac{k!}{{\alpha }_1!{\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!}=\frac{k!}{\alpha !}$

حيث $k:=\left|\alpha \right|\in {\mathbb{N}}_0$

الأس

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$ .

انظر أيضًا

• تدوين أينشتاين
• تدوين بالدليل
• حساب ريتشي