أثر (جبر خطي)

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A (بالإنجليزية: Trace of matrix)‏ هو مجموع مداخل المصفوفة الواقعة على القطر الرئيسي (القطر الممتد من العنصر الأعلى يسارا إلى العنصر الأسفل يمينا).

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$

حيث a_ii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، حقيقية كانت أم عقدية. أثر مصفوفة لا يتغير بتغيير القاعدة، صانعًا منها لامتباينا.

مثال

ليكن T عاملا خطيا ممثلا بالمصفوفة التالية:

$\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& -3\\ -1& 1& 3\\ 2& 0& -1\end{array}\right].$

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P² = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (x − λ₁)^d₁···(x − λ_k)^d_kهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=d_1{\lambda }_1+\cdots +d_k{\lambda }_k.$

خصائص

خصائص أساسية

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)+\mathrm{t}\mathrm{r}(B)$,

$\mathrm{t}\mathrm{r}(cA)=c\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$.

انظر إلى منقولة مصفوفة.

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{\mathrm{T}})$.

أثر جداء مصفوفتين

$\mathrm{t}\mathrm{r}(X^{\mathrm{T}}Y)=\mathrm{t}\mathrm{r}(X{Y}^{\mathrm{T}})=\mathrm{t}\mathrm{r}(Y^{\mathrm{T}}X)=\mathrm{t}\mathrm{r}(Y{X}^{\mathrm{T}})={\sum }_{i,j}{X}_{ij}{Y}_{ij}$.

جبر لي

انظر إلى جبر لي.

انظر أيضا

• دالة مميزة (نظرية احتمالات)