عدد مثلثي

الأعداد المثلثية الستة الأولى

العدد المثلثي (بالإنجليزية: Triangular number)‏ هو مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى n بالشكل:

$T_n=1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}).$

تعطى الأعداد الأولى من سلسلة الأعداد المثلثية كالتالي: 1 - 3 - 6 - 10 - 15 - 21 - 28 - 36 - 45 - 55 - 66 - 78...

الأعداد المثلثية أكثر كثافة من معظم الأعداد المضلعية الأخرى. كثافة الأعداد المثلثية بالنسبة للكثافة الأعداد المربعة تساوي $\sqrt{2}=1,414...$.

علاقة العدد المثلثي بالأعداد الشكلية

للأعداد المثلثية علاقة وطيدة بالأعداد الشكلية الأخرى. حيث يعتبر العدد المثلثي نفسه عدد شكلي يمثل مثلث. إن مجموع عددين مثلثيين متتاليين يعطي عدد مربعي.

$T_n+T_{n-1}=(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+(\frac{{(n-1)}^2}{2}+\frac{n-1}{2})=(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2})+(\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2})=n^2.$

وهذه العلاقة تمثل رسومياً كالتالي:

16

25

خاصيات

• لا يوجد عدد مثلثي مكعب باستثناء 1 و0 حسب حدسية كاتالان
• تكون الأعداد المثلثي ذا الترتيب 1, 2 ,3 ,4 ...,n على التوالي : فردية - فردية - زوجية - زوجية - فردية - فردية - زوجية - زوجية - ...
• لم يعثر بعد على عدد مثلثي مربعي مخمسي في نفس الوقت.
• مجموع مقاليب الأعداد المثلثية تساوي واحد $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+...=2$ و هو مساو أيضا لمجموع مقاليب قوة 2.

فحص الأعداد المثلثية

يكون العدد x عدداً مثلثياً إذا كان العدد n في العلاقة التالية عددا صحيحا:

$n=\frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.$

انظر أيضا

• عدد مربع
• عدد مخمسي
• عدد مثلثي مربعي

وصلات خارجية

• Triangular numbers at cut-the-knot
• There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• إيريك ويستاين، عدد مثلثي، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).