دالة أوميغا الأولية

في نظرية الأعداد، دوال أوميغا الأولية $\omega (n)$ و $\mathrm{\Omega }(n)$ (بالإنجليزية: Prime omega functions)‏ تقومان بحساب عدد العوامل الأولية لعدد طبيعي $.n$ تقوم $\omega (n)$ (أوميغا الصغيرة) بحساب كل عامل أولي مميز ، في حين أن الدالة $\mathrm{\Omega }(n)$ (أوميغا كبيرة) تحسب العدد الإجمالي للعوامل الأولية لـ $n$.

يمكن للمرئ أن يلاحظ أن هاتان الدالتان هما دالتان ضربيتان (انظر دالة الحسابية). على سبيل المثال، إذا كان لدينا تعميل أولي لـ $n$ على النحو التالي $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$ بحيث$p_i$ هو عدد أولي ($1\le i\le k$)، فيتم إعطاء دوال أوميغا الأولية بواسطة $\omega (n)=k$ و $\mathrm{\Omega }(n)={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_k$ . تملك دوال عدّ العوامل الأولية هذه أهمية كبيرة في مبرهنات وعلاقات نظرية الأعداد

خصائص وعلاقات

$\omega (n)$

هي دالة جمعية و

$\mathrm{\Omega }(n)$

هي جمعية بالكامل، نُعرف

$\omega (n)$

كالآتي:

$\omega (n)={\sum }_{p\mid n}1$

إذا كان

$p$

يقسم

$n$

مرة واحدة على الأقل نحسبه مرة واحدة فقط، على سبيل المثال

$\omega (12)=\omega (2^{2}3)=2$

. أما بالنسبة ل

$\mathrm{\Omega }(n)$

فتُعرّف كالآتي:

$\mathrm{\Omega }(n)={\sum }_{p^{\alpha }\mid \mid n}\alpha$

إذا كان

$p$

يقسم

$n$

عدد

$\alpha$

من مرات فنحسب القوى، على سبيل المثال

$\mathrm{\Omega }(12)=\mathrm{\Omega }(2^2{3}^1)=3$

. لاحظ أنه

$\mathrm{\Omega }(n)\ge \omega (n)$

. إذا كان

$\mathrm{\Omega }(n)=\omega (n)$

فإن

$n$

هو مربع حر ويعبر عنه باستعمال دالة موبيوس كالآتي:

$\mu (n)=(-1{)}^{\omega (n)}=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$

إذا كان $\mathrm{\Omega }(n)=1$ فإن $n$ عدد أولي.

من المعروف أن متوسط ترتيب دالة القواسم يستوفي المتفاوتة $2^{\omega (n)}\le d(n)\le 2^{\mathrm{\Omega }(n)}$ .

مثل العديد من الدوال الحسابية ، لا توجد صيغة دقيقة ل $\mathrm{\Omega }(n)$ أو $\omega (n)$ لكن هناك تقديرات تقريبية.

يمكن التعبير عن متوسط ترتيب

$\omega (n)$

بالمتسلسة الآتية

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\omega (k)\sim \log \log n+B_1+{\sum }_{k\ge 1}(\sum _{j=0}^{k-1}\frac{{\gamma }_j}{j!}-1)\frac{(k-1)!}{(\log n{)}^k}$

بحيث $B_1\approx 0.26149721$ هو ثابت ميرتنز و ${\gamma }_j$ هي ثوابت ستيلتجيس.

الدالة

$\omega (n)$

لها علاقة وثيقة مع دالة موبيوس ودالة القواسم، نذكر من هذه العلاقات

${\sum }_{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}$

${\sum }_{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1{)}^{\omega (n)}$

${\sum }_{r\mid n}{2}^{\omega (r)}=d(n^2)$

${\sum }_{r\mid n}{2}^{\omega (r)}d(\frac{n}{r})=d^2(n)$

${\sum }_{d\mid n}(-1{)}^{\omega (d)}=\prod _{p^{\alpha }\left|\right|n}(1-\alpha )$${\sum }_{\stackrel{1\le k\le m}{(k,m)=1}}gcd(k^2-1,m_1)gcd(k^2-1,m_2)=\phi (n){\sum }_{\stackrel{d_1\mid m_1}{d_2\mid m_2}}\phi (gcd(d_1,d_2))2^{\omega (\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(d_1,d_2))},m_1,m_2\text{ odd},m=\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(m_1,m_2)$

${\sum }_{\stackrel{1\le k\le n}{\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(k,m)=1}}1=n\frac{\phi (m)}{m}+O(2^{\omega (m)})$

الإمتداد للمستوى العقدي

تم العثور على استمرار ل

$\omega (n)$

، على الرغم من أنها ليست تحليلية في كل مكان.

$\omega (z)={\log }_2(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}(x^2+x-yz)))$

انظر أيضا

• دالة جمعية
• دالة حسابية