دالة جمع

في نظرية الأعداد، نقول عن دالة حسابية $f(n)$ أنها دالة جمع لمتغيرين صحيحين موجبين أو أكثر إذا تحقق ما يلي:

لكل عددين $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما، لدينا: $f(ab)=f(a)+f(b)$.

جمعية بالكامل

يقال عن دالة جمعية $f(n)$ أنها جمعية بالكامل إذا كان $f(ab)=f(a)+f(b)$ لكل الأعداد الصحيحة الموجبة $a$ و $b$ . إذا كانت $f$ دالة جمعية بالكامل، فإن $f(1)=0$.

كل دالة جمع بالكامل هي دالة جمع، لكن العكس غير صحيح.

أمثلة

أمثلة لدوال جمع بالكامل حسابية:

• دالة أوميغا الأولية $\mathrm{\Omega }(n)$، المعروفة باسم "دالة أوميغا الكبيرة"، والتي تقوم بحساب العدد الإجمالي للعوامل الأولية للعدد $n$، على سبيل المثال:

$,\mathrm{\Omega }(1)=0$

لأن العدد 1 ليس له عوامل أولية.

$\mathrm{\Omega }(4)=2$

$\mathrm{\Omega }(16)=\mathrm{\Omega }(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=4$

$\mathrm{\Omega }(20)=\mathrm{\Omega }(2\cdot 2\cdot 5)=3$

$\mathrm{\Omega }(27)=\mathrm{\Omega }(3\cdot 3\cdot 3)=3$

$\mathrm{\Omega }(144)=\mathrm{\Omega }(24\cdot 32)=\mathrm{\Omega }(24)+\mathrm{\Omega }(32)=4+2=6$

$\mathrm{\Omega }(2,000)=\mathrm{\Omega }(24\cdot 53)=\mathrm{\Omega }(24)+\mathrm{\Omega }(53)=4+3=7$

$\mathrm{\Omega }(2,001)=3$

$\mathrm{\Omega }(2,002)=4$

$\mathrm{\Omega }(2,003)=1$

Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 1993 ⋅ 1993 ⋅ 1236661) = 4  

Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 7⋅ 7 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6

Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 11⋅ 1993⋅ 1993 ⋅ 1236661) = 7.

أمثلة لدوال حسابية جمعية، ولكنها ليست جمعية بالكامل:

• دالة أوميغا الأولية $\omega (n)$، المعروفة باسم "دالة أوميغا الصغيرة"، والتي تقوم بحساب عدد العوامل الأولية المميزة للعدد $n$. مثلاً:

$\omega (4)=1$

$\omega (16)=\omega (24)=1$

$\omega (20)=\omega (22\cdot 5)=2$

$\omega (27)=\omega (33)=1$

$\omega (144)=\omega (24\cdot 32)=\omega (24)+\omega (32)=1+1=2$

$\omega (2,000)=\omega (24\cdot 53)=\omega (24)+\omega (53)=1+1=2$

$\omega (2,001)=3$

$\omega (2,002)=4$

$\omega (2,003)=1$

$\omega (54,032,858,972,279)=3$

$\omega (54,032,858,972,302)=5$

$\omega (20,802,650,704,327,415)=5$

دالة ضربية

نقول عن دالة حسابية $g(n)$، أنها دالة ضربية إذا كان $g(ab)=g(a)\cdot g(b)$، لكل عددين $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما.

لاحظ أنه إذا كانت $f(n)$ دالة جمعية، فيمكننا تكوين دالة ضربية بسهولة، مثلاً: $g(n)=2^{f(n)}$.

انظر أيضًا

• دالة حسابية.
• دالة أوميغا الأولية.