تكامل مثلثي

في الرياضيات، التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric integrals)‏ هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب

رسم بياني لتكامل الجيب Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

حيث $\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$ هو أصل $\sin x/x$ و التي تكون صفراً عندما $x=0$; و $\mathrm{s}\mathrm{i}(x)$ هو أصل $\sin x/x$ و التي تكون صفراً عندما $x=\mathrm{\infty }$. يكون لدينا:

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=\mathrm{S}\mathrm{i}(x)-\frac{\pi }{2}$

لاحظ بأن $\frac{\sin t}{t}$ هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون $x=\mathrm{\infty }$, فأنه يُعرف باسم تكامل ديريكليه .

في معالجة الإشارة، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و المصنوعات الرنينية (Ringing artifacts) عند استعمال مرشح جيبي جوهري (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).

إن ظاهرة غيبس (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.

تكامل جيب التمام

رسم بياني لتكامل جيب التمام Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

حيث $\mathrm{c}\mathrm{i}(x)$ هو أصل $\cos x/x$ و التي تكون صفراً عندما $x=\mathrm{\infty }$. يكون لدينا:

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

تكامل الجيب الزائدي

يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:

$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh t}{t}dt=\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x).$

تكامل جيب التمام الزائدي

يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:

$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}dt=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

حيث أن $\gamma$ هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

لولب نيلسن

رسم مجسم نيلسن اللولبي

في الرياضيات, لولب نيلسن (بالإنجليزية: Nielsen's spiral)‏, و يسمى أيضاً باللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام (بالإنجليزية: sici spiral)‏، هو لولب معادلاته الوسيطية:

$x=a\text{ci}t$

$y=a\text{si}t$

حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

تفكيك

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\frac{\pi }{2}-\frac{\cos x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\sin x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\frac{\sin x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\cos x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)\gg 1$.

متسلسلات التقارب

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}\pm \cdots$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot 2}+\frac{x^4}{4!\cdot 4}\mp \cdots$

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم $x$ المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان $\left|x\right|\gg 1$ يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي

تُسمى الدالة ${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-zt)}{t}\mathrm{d}t(\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\ge 0)$ بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

${\mathrm{E}}_1(\mathrm{i}x)=i(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{S}\mathrm{i}(x))-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=i\mathrm{s}\mathrm{i}(x)-\mathrm{c}\mathrm{i}(x)(x>0)$

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$. (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد $\pi$ في هذه العبارة الجبرية).

انظر أيضًا

• تكامل أسي Exponential integral
• دالة التكامل اللوغاريتمي Logarithmic integral function