صيغة جمع أبيل

في الرياضيات ، تُستخدم صيغة جمع أبيل ، التي قدمها نيلز هنريك أبيل ، بشكل متكرر ومٌكثف في نظرية الأعداد ودراسة الدوال الخاصة لحساب المتسلسلات .

الصيغة

لتكن $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ متتالية من الأعداد الحقيقية أو المركبة . تُعرف دالة الجمع الجزئي $A$ بواسطة

$A(t)={\sum }_{0\le n\le t}{a}_n$

لأي عدد حقيقي $t$. ليكن $x<y$ ، ولتكن $\varphi$ دالة قابلة للإشتقاق بشكل متصل في $[x,y]$ . إذاً:

${\sum }_{x<n\le y}{a}_n\varphi (n)=A(y)\varphi (y)-A(x)\varphi (x)-\underset{x}{\overset{y}{\int }}A(u){\varphi }^{\prime }(u)du.$

يعتمد برهان الصيغة على تطبيق التكامل بالتجزئة لكل من الدوال $A$ و $\varphi$ .

أشكال مختلفة

إذا كان المتتالية $(a_n)$ مفهرسة من $n=1$ ، يمكننا أن نعرف $a_0=0$ . لتصبح الصيغة السابقة على الشكل الآتي :

${\sum }_{1\le n\le x}{a}_n\varphi (n)=A(x)\varphi (x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}A(u){\varphi }^{\prime }(u)du.$

من الطرق الشائعة لتطبيق صيغة جمع أبيل هي أن تأخذ $x\to \mathrm{\infty }$ . فتصبح الصيغة على الشكل الآتي :

$\begin{array}{rr}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\varphi (n)& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(A(x)\varphi (x))-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(u)\varphi \text{'}(u)du,\\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\varphi (n)& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(A(x)\varphi (x))-\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(u)\varphi \text{'}(u)du.\end{array}$

هذه المعادلات صحيحة متى ما وُجدت كلتا النهايتين على الجانب الأيمن وكانتا منتهيتين.

أمثلة

الأعداد التوافقية

إذا كانت $a_n=1$ بلكل $n\ge 1$ و $\varphi (x)=1/x,$ فإن $A(x)=\lfloor x\rfloor$ وتنتج الصيغة

$\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }\frac{1}{n}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^2}du.$

الطرف الأيسر هو العدد التوافقي $H_{\lfloor x\rfloor }$ .

تمثيل دالة زيتا

ليكن $s$ عددا عقديا. إذا توفر $a_n=1$ حيث $n\ge 1$ و $\varphi (x)=x^{-s},$ إذن $A(x)=\lfloor x\rfloor$ وتصير الصيغة

$\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }\frac{1}{n^s}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x^s}+s\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}du.$

إذا توفر $\mathrm{\Re }(s)>1$, إذن النهاية عندما $x\to \mathrm{\infty }$ موجودة فتصير الصيغة

$\zeta (s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}du.$

قد تستعمل هذه المسألة من أجل استنتاج مبرهنة ديريكليه والتي تنص على أن $\zeta (s)$ تملك قطبا بسيطا مع باق مساو لواحد عند s = 1.

تمثيل مقلوب دالة زيتا

يمكن أن تستعمل التقنية المستعملة في المثال السابق على متسلسلات دركليه أخرى. إذا كانت $a_n=\mu (n)$ هي دالة موبيوس و $\varphi (x)=x^{-s}$, إذن $A(x)=M(x)={\sum }_{n\le x}\mu (n)$ هي دالة ميرتنز و

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{M(u)}{u^{1+s}}du.$

الصيغة صحيحة حين يتوفر $\mathrm{\Re }(s)>1$.

انظر أيضًا

• الجمع بالتجزئة
• التكامل بالتجزئة

مراجع

• Apostol، Tom (1976)، Introduction to Analytic Number Theory، كتب جامعية في الرياضيات، Springer-Verlag.