مشتق اتجاهي

في الرياضيات، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين $\overrightarrow{v}$ عند نقطة معينة $x$ معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه . لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة.

الترميز

لتكن $f$ دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة $f$ على طول متجه $\overrightarrow{v}$ بأي مما يلي:

• :${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})$،
• $f{\text{'}}_{\mathbf{v}}(\mathbf{x})$،
• $D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})$،
• $Df(\mathbf{x})(\mathbf{v})$،
• ${\partial }_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})$،
• $\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})$،
• $\mathbf{v}\cdot \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}.$

التعريف

خط منسوب للدالة $f(x,y)=x^2+y^2$، يظهر متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة $\mathbf{u}$ تحجيم بواسطة مشتق الاتجاه على طول $\mathbf{u}$ باللون البرتقالي. يكون متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل لزيادة دالة.

المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :

$f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

على طول متجه :

$\mathbf{v}=(v_1,\dots ,v_n)$

هو الدالة

${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f$

المُعرفة بالنهاية التالية:

${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(\mathbf{x}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{x})}{h}.$

إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في

$\mathbf{x}$

، فإن المشتق الإتجاهي موجود، ويُعبر عنه ب:

${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})=\mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})\cdot \mathbf{v}$

بحيث

$\mathrm{\nabla }$

ترمز إلى التدرج و

$\cdot$

هو الجداء النقطي، وهذه القاعدة هي مجرد تطبيق لتعريف المشتق الإتجاهي :

$\begin{array}{rr}0& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(x+tv)-f(x)-t{D}_f(x)(v)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}-D_f(x)(v)={\mathrm{\nabla }}_{v}f(x)-D_f(x)(v)\\ ⟹& \mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})\cdot \mathbf{v}=D_f(x)(v)={\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})\end{array}$

خصائص

الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال $f$ و $g$ معرفة على مجالٍ، والقابلة للإشتقاق في $p$، فهي تستوفي الخصائص الآتية:

1. قاعدة الجمع :

${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}(f+g)={\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f+{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}g.$

2 . قاعدة العامل الثابت :

${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}(cf)=c{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f.$

3 . قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس) :

${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}(fg)=g{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}f+f{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}g.$

4 . قاعدة السلسلة ( إذا كانت

$h$

قابلة للإشتقاق في

$g(p)$

و

$g$

في

$p$

) :

${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}(h\circ g)(\mathbf{p})=h^{\prime }(g(\mathbf{p})){\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{v}}g(\mathbf{p}).$

المشتق العمودي

المشتق العمودي هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما، إذا كان هذا المتجه هو

$\overrightarrow{n}$

، فيرمز للمشتق العمودي بالآتي :

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}=\mathrm{\nabla }f(\mathbf{x})\cdot \mathbf{n}={\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{n}}f(\mathbf{x})=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\cdot \mathbf{n}=Df(\mathbf{x})[\mathbf{n}].$

انظر أيضا

• مشتق جزئي
• تدرج
• هندسة تفاضلية