قائمة الصيغ المحتوية ط

فيما يلي قائمة بأشهر الصيغ التي تحتي على الثابت الرياضي π. تحوي القائمة فقط على الصيغ التي تبدو جديرة بالملاحظة من خلال حديث المقال عنها خصوصا، أو من خلال المقالات المتعلقة بها عموما كما في التقريبات المستعملة لحساب ط.

الهندسة الكلاسيكية

C=2πr=πd,

حيثC يمثل محيط دائرة، r هو نصف القطر وd القطر.

A=πr2,

حيثA مساحة دائرة وr نصف قطرها.

A=πab,

حيثA مساحة قطع ناقص وa, b نصفي قطريه.

V=43πr3,

حيث V حجم كرة وr نصف قطرها.

A=4πr2

حيث A المساحة السطحية لكرة وr نصف قطرها.

التحليل

تكاملات

sech(x)dx=π
111x2dx=π2 (انظر π)
11dx1x2=π (انظر π)
dx1+x2=π (شكل تكاملي لـ arctan أو معكوس الظل على نطاقها الداخلي معطيا الفترة ظا).
ex2dx=π (انظر أيضا توزيع طبيعي).
dzz=2πi (عندما يلتف مسار التكامل مرة باتجاه عكس عقارب الساعة حول الصفر. انظر أيضا صيغة كوشي التكاملية)
0sin(x)xdx=π2.
01x4(1x)41+x2dx=227π (انظر أيضا إثبات أن 22/7 أكبر من π).

متسلسلات لانهائية ذات كفاءة

k=0k!(2k+1)!!=k=02kk!2(2k+1)!=π2 (انظر أيضاً مضروب ثنائي)
12k=0(1)k(6k)!(13591409+545140134k)(3k)!(k!)36403203k+3/2=1π (انظرالإخوان شودنوفسكي)
229801k=0(4k)!(1103+26390k)(k!)43964k=1π (انظر سرينفاسا أينجار رامانجن)
365k=0((4k)!)2(6k)!9k+1(12k)!(2k)!(12716912k+1107012k+513112k+7+212k+11)=π[1]

المتسلسلات التالية مناسبة لحساب مراتب اختيارية من π:

k=0116k(48k+128k+418k+518k+6)=π (انظر صيغة Bailey-Borwein-Plouffe)
126n=0(1)n210n(254n+114n+3+2810n+12610n+32210n+52210n+7+110n+9)=π

سلاسل لامنتهية أخرى

ζ(2)=112+122+132+142+=π26   (انظر أيضا مسألة بازل ودالة زيتا)
ζ(4)=114+124+134+144+=π490
ζ(2n)=112n+122n+132n+142n+=(1)n+1B2n(2π)2n2(2n)!
n=0(1)n2n+1=1113+1517+19=arctan1=π4   (انظر صيغة لايبنتس ل π)
n=01(2n+1)2=112+132+152+172+=π28
n=0(1)n(2n+1)3=113133+153173+=π332
n=01(2n+1)4=114+134+154+174+=π496
n=0(1)n(2n+1)5=115135+155175+=5π51536
n=01(2n+1)6=116+136+156+176+=π6960
π=3+n=2(1)nn(n1)(2n1)=3+12131325+14371549+   (مادهافا السنغماراي)
π=1+12+13+1415+16+17+18+19110+111+112113+   (Euler, 1748)
يتم تعيين الإشارات كما يلي. إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m - 1): الإشارة موجبة; إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m + 1): إشارة سالبة; للأعداد المتراكبة: حاصل ضرب إشارات عواملها; العامل 2 له إشارة موجبة.[2]

صيغ مثيلة-ماتشن

π4=4arctan15arctan1239 (الأصلية صيغة جون ماكن)
π4=arctan12+arctan13
π4=2arctan12arctan17
π4=2arctan13+arctan17
π4=5arctan17+2arctan379
π4=12arctan149+32arctan1575arctan1239+12arctan1110443
π4=44arctan157+7arctan123912arctan1682+24arctan112943

مضاريب لا منتهية

n=14n24n21=2123434565678789=43161536356463=π2 (انظر أيضا ضرب واليس)

صيغة فيتا:

222+222+2+22=2π

كسور مستمرة ثلاثية

π=3+126+326+526+726+
π=41+123+225+327+429+
π=41+122+322+522+722+

لتفاصيل أكثر خول هذه المتطابقة، انظرصيغة أويلر للكسر المستمر.

(انظر أيضا كسر مستمر وكسر مستمر معمم.)

منوعات

n!2πn(ne)n (تقريب ستيرلنغ)
eiπ+1=0 (متطابقة أويلر)
k=1nφ(k)3n2π2 (انظر مؤشر أويلر)
k=1nφ(k)k6nπ2 (انظرمؤشر أويلر)
Γ(12)=π (انظر أيضا دالة غاما)
π=Γ(1/4)4/3agm(1,2)2/32 (حيث أن agm هو المتوسط الحسابي الهندسي)
limn1n2k=1n(nmodk)=1π212 (حيث mod هي دالة باقي القسمة)
limn10n+2sin(15555ndigits)=π (حيث أن دالة الجيب sin مقدرة بالدرجات وليس بالراديان هنا)

فيزياء

Λ=8πG3c2ρ
ΔxΔph4π
RikgikR2+Λgik=8πGc4Tik
F=|q1q2|4πε0r2
μ0=4π107N/A2
R3T2=GM4π2
T2πLg

انظر أيضا

ملاحظات

  1. ^ Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series نسخة محفوظة 31 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.
  2. ^ كارل بنجامين بوير, A History of Mathematics, Chapter 21.