تضامنًا مع حق الشعب الفلسطيني |
تكامل مثلثي
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. (يناير 2022) |
في الرياضيات، التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric integrals) هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.
تكامل الجيب
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Sine_integral.svg/300px-Sine_integral.svg.png)
هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:
حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما ; و هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:
لاحظ بأن هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.
عندما يكون , فأنه يُعرف باسم تكامل ديريكليه [English].
في معالجة الإشارة، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و المصنوعات الرنينية [English] (Ringing artifacts) عند استعمال مرشح جيبي جوهري [English] (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).
إن ظاهرة غيبس [English] (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.
تكامل جيب التمام
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Cosine_integral.svg/300px-Cosine_integral.svg.png)
هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:
حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:
تكامل الجيب الزائدي
يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:
تكامل جيب التمام الزائدي
يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:
حيث أن هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.
لولب نيلسن
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Nielsen%27s_spiral.png/300px-Nielsen%27s_spiral.png)
في الرياضيات, لولب نيلسن (بالإنجليزية: Nielsen's spiral), و يسمى أيضاً باللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام (بالإنجليزية: sici spiral)، هو لولب معادلاته الوسيطية:
حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.
هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.
تفكيك
هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.
سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)
هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون .
متسلسلات التقارب
هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.
العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي
تُسمى الدالة بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:
بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى . (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد في هذه العبارة الجبرية).
انظر أيضًا
- تكامل أسي Exponential integral
- دالة التكامل اللوغاريتمي Logarithmic integral function