قانون لابلاس

ينص قانون لابلاس على أن هناك علاقة في الديناميكا الحرارية تربط بين الضغط والحجم، الحرارة والحجم أو الحرارة والضغط وذلك فيما يتعلق بالغاز المثالي خصوصا عند العمليات متساوية الاعتلاج، العمليات الكظومة والعمليات غير العكوسة.

المفهوم الرياضي

بصفة عامة

عند مرحلة تحول غاز مثالي معين، يٌمكن الحصول على العلاقات التالية:

$P{V}^{\gamma }=C_1$

$T{V}^{\gamma -1}=C_2$

$T^{\gamma }{P}^{1-\gamma }=C_3=C_1^{1-\gamma }{C}_2^{\gamma }$

مع:

• P: ضغط الغاز
• V: الحجم الذي يشغله الغاز
• T: حرارة الغاز
• $\gamma$ : معامل لابلاس للغازات المثالية (بدون وحدة)، وبالتالي:
  • $\gamma =\frac{C_P}{C_V}$ خارج قسمة السعة الحرارية $C_P$ (ضغط ثابث) على $C_V$ (حجم ثابت).
  • $\gamma =\frac{{\overline{C}}_P}{{\overline{C}}_V}$ خارج قسمة السعات الحرارية المولية
  • $\gamma =\frac{c_P}{c_V}$ خارج قسمة السعات الحرارية الكتلية
• C₁، C₂ و C₃ هم ثوابت، حيث أن نسبتهم تتغير حسب نوعية الغاز المثالي المدروس، وكذلك حسب الشروط البدئية، الضغط؛ الحرارة والحجم

(T₀)

الشروط

تطبيق قوانين أو قواعد لابلاس صالحة فقط عند:

• الغازات المثالية أو خلط الغازات المثالية
• افتراض أن $\gamma$ لا تتأثر أو تتغير باختلاف درجة الحراراة
• العميليات متساوية الاعتلاج

البرهنة على قانون لابلاس

ينص القانون الأول للديناميكا الحرارية على:

«عند تحول ترموديناميكي معين لنظام مغلق، فإن فرق طاقته تساوي كمية الطاقة المتبادلة مع الوسط الخارجي، وذلك على شكل انتقال حراري وكذلك على شكل شغل»

وفي حالة النظام الترمودينامكي فإن الطاقة الداخلية فقط هي التي تتغير حيث:

$\mathrm{d}U=\delta W+\delta Q$

إذن فالشغل الميكانيكي $\delta W$ يساوي ضرب مشتقة الحجم $\mathrm{d}V$ في الضغط الداخلي $P$ المطبق أثناء هذا التغير الحجمي ومنه:

$\delta W=-P\mathrm{d}V$.

إذا كانت عملية التحول هذه كظومة، إذن ليس هناك أي تغير في الحرارة أي $\delta Q=0$ وبناء عليه

$\mathrm{d}U=-P\mathrm{d}V$

مع افتراض أن المحتوى الحراري للنظام الآن هو $H=U+PV$ في حين أن اشتقاقه هو

$\mathrm{d}H=\mathrm{d}U+P\mathrm{d}V+V\mathrm{d}P$

$\mathrm{d}H=-P\mathrm{d}V+P\mathrm{d}V+V\mathrm{d}P$

$\mathrm{d}H=V\mathrm{d}P$

إذا افترضنا أن هذا الغاز يتصرف كغاز مثالي، فإن الاشتقاق في كمية المادة تبقى ثابتة، مع العلم أن الطاقة الداخلية والمحتوى الحراري للنظام لا تتعلق إلا بالحرارة، أي أنها لا تتغير إلا بتغير في درجة الحرارة، إذن

$\mathrm{d}U=C_V\mathrm{d}T$

$\mathrm{d}H=C_P\mathrm{d}T$

مع أن $C_V$ و$C_P$ هم السعات الحرارية على التوالي لكل من الحجم والضعط الثابتين، في حين أن $T$ هي الحرارة. وحدتي $C_V$ و$C_P$ هي الجول على الكلفن، وبالتالي فإن العلاقتين السابقتين تصبحا

$C_P\mathrm{d}T=V\mathrm{d}P$

$C_V\mathrm{d}T=-P\mathrm{d}V$

ومنه

$\mathrm{d}T=\frac{V}{C_P}\mathrm{d}P=-\frac{P}{C_V}\mathrm{d}V$

$\frac{C_P}{C_V}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}P}{P}$

علما أن $\gamma$ هو معامل لابلاس وهو في نفس الوقت خارج قسمة السعتين الحراريتين:

معامل لابلاس : $\gamma =\frac{C_P}{C_V}$

وعند الشروط البدئية (n مول من الغاز المثالي بالإضافة إلى m كتلته) تُصبح العلاقة

$C_P=n{\overline{C}}_P=m{c}_P$

$C_V=n{\overline{C}}_V=m{c}_V$

$\gamma =\frac{C_P}{C_V}=\frac{n{\overline{C}}_P}{n{\overline{C}}_V}=\frac{{\overline{C}}_P}{{\overline{C}}_V}=\frac{m{c}_P}{m{c}_V}=\frac{c_P}{c_V}$

ومنه

$\gamma \frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}P}{P}$

ثم نقوم باشتقاق هذه العلاقة بين مرحلتين $(P_{\circ },V_{\circ },T_{\circ })$ و$(P,V,T)$، علما أن كمية المادة (n) للغاز تبقى ثابتة

$\frac{P_{\circ }{V}_{\circ }}{T_{\circ }}=\frac{PV}{T}=nR$

وعلى الرغم من تغير الحرارة، تُصبح العلاقة على الشكل التالي:

$\gamma \underset{V_{\circ }}{\overset{V}{\int }}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\underset{P_{\circ }}{\overset{P}{\int }}\frac{\mathrm{d}P}{P}$

$\gamma \ln (\frac{V}{V_{\circ }})=-\ln (\frac{P}{P_{\circ }})$

يعني أن:

(1) $P{V}^{\gamma }=P_{\circ }{V_{\circ }}^{\gamma }$

وبالتعويض في المعادلة الأولى (1) نحصل على:

$P_{\circ }=\frac{nR{T}_{\circ }}{V_{\circ }}$

$P=\frac{nRT}{V}$

إذن:

(2) $T{V}^{\gamma -1}=T_{\circ }{V_{\circ }}^{\gamma -1}$

ثم بالتعويض في المعادلة الأولى (1) مجددا نحصل على:

$V_{\circ }=\frac{nR{T}_{\circ }}{P_{\circ }}$

$V=\frac{nRT}{P}$

ومنه:

(3) $P^{1-\gamma }{T}^{\gamma }={P_{\circ }}^{1-\gamma }{T_{\circ }}^{\gamma }$

تطبيق عددي:

مع المعادلة الثالثة (3):

$\ln \frac{T}{T_{\circ }}=-\frac{1-\gamma }{\gamma }\cdot \ln \frac{P}{P_{\circ }}$

بالنسبة لغاز مثالي أحادي الذرة $\gamma =\frac{5}{3}$ نحصل على

$\ln \frac{T}{T_{\circ }}=\frac{2}{5}\cdot \ln \frac{P}{P_{\circ }}$

وبالنسبة لغاز مثالي ثنائي الذرة $\gamma =\frac{7}{5}$ نحصل على

$\ln \frac{T}{T_{\circ }}=\frac{2}{7}\cdot \ln \frac{P}{P_{\circ }}$

دقة القانون

العالم والفلكي الفرنسي بيير سيمون لابلاس

في حالة ما تم تطبيق القانون بإحكام ودقة متناهية، فإن كل من السَعَة الحرارية المولية ${\overline{C}}_P$ وكذلك ${\overline{C}}_V$ و $\gamma$ لهم علاقة وارتباط بتغير الحراراة، وبالتالي فإن قانون لابلاس لم يعد صالحا، أو بالأحرى لن يفدي إلى نتائج مضبوطة.

مع افتراض غاز مثالي أثناء تحول متساوي الاعتلاج، فإذا كانت الشروط البدئية للتحول معروفة (كمية مادة الغاز المثالي بالإضافة إلى معرفة شرطين على الأقل من بين الشروط الثلاثة P₀ T₀ V)₀)، فإن معرفة شرط وحيد في الحالة النهائية (الضغط، الحرارة أو الحجم) كاف لتحديد باقي الشروط أو القياسات.

• يمكن تحديد الضغط النهائي P للتحول، من خلال تعبير الغازات المثالية أو تعبير خلط الغازات المثالية، حيث أنه وكمرحلة أولى يجب حساب الحرارة النهائية T وذلك من خلال العلاقة التالية:

$\mathrm{\Delta }S=\underset{T_{\circ }}{\overset{T}{\int }}\frac{C_P}{T}\mathrm{d}T-nR\ln (\frac{P}{P_{\circ }})=n\underset{T_{\circ }}{\overset{T}{\int }}\frac{{\overline{C}}_P}{T}\mathrm{d}T-nR\ln (\frac{P}{P_{\circ }})=0$

معرفة الحرارة النهائية T ستُفضي بشكل مباشر لحساب الضغط النهائي P

وفي النهاية يُمكن حساب الحجم النهائي V من خلال العلاقة التالية:

$V=\frac{P_{\circ }}{P}\frac{T}{T_{\circ }}{V}_{\circ }$

• يٌمكم تحديد الحجم النهائي V للتحول، من خلال تعبير الغازات المثالية، حيث أنه وكمرحلة أولى يجب حساب الحرارة النهائية T وذلك من خلال العلاقة التالية:

$\mathrm{\Delta }S=\underset{T_{\circ }}{\overset{T}{\int }}\frac{C_V}{T}\mathrm{d}T+nR\ln (\frac{V}{V_{\circ }})=n\underset{T_{\circ }}{\overset{T}{\int }}\frac{{\overline{C}}_V}{T}\mathrm{d}T+nR\ln (\frac{V}{V_{\circ }})=0$

معرفة الحرارة النهائية T ستُفضي بشكل مباشر لحساب الضغط النهائي P

وفي النهاية يُمكن حساب الضغط النهائي P من خلال العلاقة التالية:

$P=\frac{V_{\circ }}{V}\frac{T}{T_{\circ }}{P}_{\circ }$

التطبيق في علم الأرصاد الجوية والطيران الشراعي

يتكون الهواء أساسا من الأزوت $N_2$ و ثنائي الأكسجين $O_2$ وفي الشروط العادية تكون $\gamma$ = 7/5 وعند استخراج الكتل الحرارية لهذان الغازان من جدول نيست (بالفرنسية: Table Nist)‏، نحصل على 1000 هيكتوباسكال و T= 290K ومنه:

• ${\overline{C}}_{P,m}$ = 1,0٬413 kJ/(g.K)
• ${\overline{C}}_{V,m}$ = 0,74٬303 kJ/(g.K).

وبالتالي فإن: $\gamma$ = 1,40142 $\approx \frac{7}{5}$

إذن يمكن تطبيق قانون لابلاس بشكل جيد ودقيق في علم الأرصاد الجوية، وبالتالي يُمكن حساب المقدار الحراري والذي يساوي 9.78k/km. هذا الرقم مهم للغاية، حيث يمكن في غالب الأحيان من معرفة استقرار الجو من عدمه؛ مما يعطي نظرة عن تشكل العواصف الرعدية أم لا، ويساعد ربان الطائرات الشرعية في اختيار الوقت المناسب للإقلاع.

انظر أيضًا

• بيير سيمون لابلاس
• معادلة لابلاس