عملية كظومة

في الديناميكا الحرارية، العَمَلِيَّة الكَظِيمَة أو العَمَلِيَّة الكَظُومَة أو الأديباتيكية أو اللاتبادلية (بالإنجليزية: Adiabatic)‏ هو الإجراء الديناميكي الحراري التي لا يوجد فيها تبادل حراري بين المنظومة والوسط المحيط. أي أنه معزول حراريا.

$V{T}^{\alpha }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

حيث T درجة الحرارة المطلقة.

يمكن كتابة هذه المعادلة أيضا بالصورة:

$T{V}^{\gamma -1}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

اشتقاق الصيغة المتصلة

يقتضي تعريف العملية الأديباتية بأن الانتقال الحراري للنظام هو صفر، $Q=0$. وفقا لـالقانون الأول للديناميكا الحرارية :

$\text{(1)}dU+\delta W=\delta Q=0,$

حيث أن dU هي التغير في الطاقة الداخلية للنظام وδW هو الشغل المبذول بواسطة النظام. يتم الشغل المبذول (δW) على حساب الطاقة الداخلية U، نظرا لعدم دخول حرارة إلى النظام من الوسط المحيط . يعرف «شغل الضغط-الحجم» δW للنظام بأنه :

$\text{(2)}\delta W=PdV.$

لكن, P لاتبقى ثابتة أثناء العملية الكظومة وإنما تتغير مع تغير V.

لذلك يكون من الأفضل معرفة كيفية ارتباط dP وdV أثناء انجاز العملية الأديباتية.

تعطى الطاقة الداخلية لغاز مثالي بالعلاقة:

$\text{(3)}U=\alpha nRT,$

حيث R هو ثابت الغاز العام وn عدد المولات في النظام (ثابت).

بمفاضلة المعادلة (3) وباستعمال قانون الغاز المثالي, $PV=nRT$, ينتج

$\text{(4)}dU=\alpha nRdT=\alpha d(PV)=\alpha (PdV+VdP).$

المعادلة (4) يعبر عنها غالبا $dU=n{C}_{V}dT$ لأن $C_V=\alpha R$.

والان بتعويض المعادلات (2) و(4) في المعادلة (1) نحصل على

$-PdV=\alpha PdV+\alpha VdP,$

بالتبسيط:

$-(\alpha +1)PdV=\alpha VdP,$

وبقسمة كلا الطرفين على PV:

$-(\alpha +1)\frac{dV}{V}=\alpha \frac{dP}{P}.$

بعد مكاملة كلا الطرفين من $V_0$ إلى V ومن $P_0$ إلى P وبتغيير الأطراف على الترتيب,

$\ln (\frac{P}{P_0})=-\frac{\alpha +1}{\alpha }\ln (\frac{V}{V_0}).$

برفع كلا الطرفين للأس,

$(\frac{P}{P_0})={(\frac{V}{V_0})}^{-\frac{\alpha +1}{\alpha }},$

وبعزل الإشارة السالبة لبيان أن

$(\frac{P}{P_0})={(\frac{V_0}{V})}^{\frac{\alpha +1}{\alpha }}.$

لذا,

$(\frac{P}{P_0}){(\frac{V}{V_0})}^{\frac{\alpha +1}{\alpha }}=1$

و

$P{V}^{\frac{\alpha +1}{\alpha }}=P_0{V}_0^{\frac{\alpha +1}{\alpha }}=P{V}^{\gamma }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}.$

اشتقاق الصيغة المتقطعة

يكون التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسا من الحالة 1 إلى الحالة 2 مساويا لـ:

$\text{(1)}\mathrm{\Delta }U=\alpha R{n}_2{T}_2-\alpha R{n}_1{T}_1=\alpha R(n_2{T}_2-n_1{T}_1)$

في الوقت يكون الشغل المبذول بواسطة التغير في الضغط الحجمي نتيجة لهذه العملية مساويا لـ:

$\text{(2)}W=\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}PdV$

بما أننا بصدد عملية كظومة، ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة

$\text{(3)}\mathrm{\Delta }U+W=0$

من الاشتقاق السابق,

$\text{(4)}P{V}^{\gamma }=\text{constant}=P_1{V}_1^{\gamma }$

بإعادة الترتيب (4) نحصل على

$P=P_1{(\frac{V_1}{V})}^{\gamma }$

بالتعويض في (2)

$W=\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}{P}_1{(\frac{V_1}{V})}^{\gamma }dV$

بالتكامل,

$W=P_1{V}_1^{\gamma }\frac{V_2^{1-\gamma }-V_1^{1-\gamma }}{1-\gamma }$

بالتعويض$\gamma =\frac{\alpha +1}{\alpha }$,

$W=-\alpha P_1{V}_1^{\gamma }(V_2^{1-\gamma }-V_1^{1-\gamma })$

باعتبار,

$W=-\alpha P_1{V}_1({(\frac{V_2}{V_1})}^{1-\gamma }-1)$

باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما هو الحال عادة في الحالات العملية)،

$W=-\alpha nR{T}_1({(\frac{V_2}{V_1})}^{1-\gamma }-1)$

من الصيغة المتصلة,

$\frac{P_2}{P_1}={(\frac{V_2}{V_1})}^{-\gamma }$

أو,

${(\frac{P_2}{P_1})}^{\frac{-1}{\gamma }}=\frac{V_2}{V_1}$

وبالتعويض في التعبير السابق $W$,

$W=-\alpha nR{T}_1({(\frac{P_2}{P_1})}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)$

بتعويض هذا التعبير و(1) في (3) نحصل على

$\alpha nR(T_2-T_1)=\alpha nR{T}_1({(\frac{P_2}{P_1})}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)$

بالتبسيط,

$T_2-T_1=T_1({(\frac{P_2}{P_1})}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1)$

بالتبسيط,

$\frac{T_2}{T_1}-1={(\frac{P_2}{P_1})}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}-1$

بالتبسيط,

$T_2=T_1{(\frac{P_2}{P_1})}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$

انظر أيضًا

• ديناميكا حرارية
• دورة كارنوت
• دالة حالة
• دالة عملية
• علاقات ماكسويل