تفاضل الدوال المثلثية

الدالة	مشتقها
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$
$\tan (x)$	${\sec }^{2}x$
$\cot (x)$	$-{\csc }^{2}x$
$\sec (x)$	$\sec (x)\tan (x)$
$\csc (x)$	$-\csc (x)\cot (x)$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{x^2+1}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(x)$	$-\frac{1}{x^2+1}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(x)$	$\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}(x)$	$-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$

تفاضل الدوال المثلثية هي العملية الحسابية لإيجاد مشتق دالة مثلثية، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير. على سبيل المثال، يكتب مشتق دالة الجيب على هذا الشكل sin′(a) = cos (a)، وهذا يعني أن معدل تغير sin (x) عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.

يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية من تلك الخاصة بـ sin (x) و cos (x) عن طريق قاعدة ناتج القسمة المطبقة على الدوال مثل tan (x) = sin (x) / cos (x). بمعرفة هذه المشتقات، يتم إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية باستخدام التفاضل الضمني.

مشتقات الدوال المثلثية ودوالها العكسية

$\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$

$\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

$\frac{d}{dx}\tan (x)={({{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}^{\prime }}^{\prime })}^{\prime }=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{{\cos }^2(x)}={\sec }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\cot (x)={({{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}^{\prime }}^{\prime })}^{\prime }=\frac{-{\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)}{{\sin }^2(x)}=\frac{-1}{{\sin }^2(x)}=-{\csc }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\sec (x)={({{\frac{1}{\cos (x)}}^{\prime }}^{\prime })}^{\prime }=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)}\cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x)\tan (x)$

$\frac{d}{dx}\csc (x)={({{\frac{1}{\sin (x)}}^{\prime }}^{\prime })}^{\prime }=-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}=-\frac{1}{\sin (x)}\cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}=-\csc (x)\cot (x)$

$\frac{d}{dx}\arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arccos (x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arctan (x)=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\text{arccot}(x)=\frac{-1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\text{arcsec}(x)=\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\text{arccsc}(x)=\frac{-1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$

إثبات مشتقات الدوال المثلثية

نهاية sin(θ)/θ لما θ يؤول إلى 0

دائرة ذات المركز O ونصف القطر 1

العصر: منحنيا y = 1 و y = cos θ موضحة باللون الأحمر، ومنحنى y = sin(θ)/θ موضح باللون الأزرق.

يوضح الرسم البياني الموجود على اليسار دائرة ذات المركز O ونصف القطر r = 1. لتكن OA و OB اثنين من نصف القطر يصنعان قوس قياسه θ راديان. بما أننا اعتبرنا النهاية لما θ يؤول إلى الصفر، فقد نفترض أن θ هو عدد موجب صغير، نقول 0 < θ < ½ في الربع الأول.

في الرسم البياني، ليكن R₁ المثلث OAB و R₂ القطاع الدائري OAB و R₃ المثلث OAC. مساحة المثلث OAB هي:

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}(R_1)=\frac{1}{2}\left|OA\right|\left|OB\right|\sin \theta =\frac{1}{2}\sin \theta .$

مساحة القطاع الدائري OAB هي: $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}(R_2)=\frac{1}{2}\theta$، بينما مساحة المثلث OAC معطاة بواسطة:

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}(R_3)=\frac{1}{2}\left|OA\right|\left|AC\right|=\frac{1}{2}\tan \theta .$

بما أن كل منطقة تقع في المنطقة التالية، فإن:

$\text{Area}(R_1)<\text{Area}(R_2)<\text{Area}(R_3)⟺\frac{1}{2}\sin \theta <\frac{1}{2}\theta <\frac{1}{2}\tan \theta .$

زيادة على ذلك، بما أن sin θ > 0 في الربع الأول، فيمكننا القسمة على ½ sin θ، معطيًا:

$1<\frac{\theta }{\sin \theta }<\frac{1}{\cos \theta }⟹1>\frac{\sin \theta }{\theta }>\cos \theta .$

في الخطوة الأخيرة، أخذنا مقاليب الحدود الموجبة الثلاثة، وعكسنا المتباينة.

نستنتج أنه من أجل 0 < θ < ½ π، يكون مقدار sin(θ)/θ دائما أقل من 1 ودائمًا أكبر من cos(θ). وهكذا، عندما تقترب θ من 0، فإن sin(θ)/θ «عُصِرت» بين سقف ارتفاعه 1 وأرضية ارتفاعها cos θ، والتي ترتفع نحو 1؛ لذلك يجب أن تؤول sin(θ)/θ إلى 1؛ حيث أن θ تؤول إلى 0 من الجهة الموجبة:

$\underset{\theta \to 0^{+}}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=1.$

بالنسبة للحالة التي تكون فيها θ عددًا سالبًا صغيرًا –½ π < θ < 0، نستخدم حقيقة أن الجيب دالة فردية:

$\underset{\theta \to 0^{-}}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{lim}\frac{\sin (-\theta )}{-\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{lim}\frac{-\sin \theta }{-\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=1.$

نهاية (cos(θ)-1)/θ لما θ يؤول إلى 0

يتيح لنا القسم الأخير حساب هذه النهاية الجديدة بسهولة نسبية. يتم ذلك عن طريق استخدام حيلة بسيطة. في هذا الحساب، إشارة θ غير مهمة.

$\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\cos \theta -1}{\theta }=\underset{\theta \to 0}{lim}(\frac{\cos \theta -1}{\theta })(\frac{\cos \theta +1}{\cos \theta +1})=\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{{\cos }^2\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}.$

باستخدام هذه المتطابقة cos²θ – 1 = –sin²θ، حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، ونتيجة النهاية من القسم السابق، نجد أن:

$\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\cos \theta -1}{\theta }=\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{-{\sin }^2\theta }{\theta (\cos \theta +1)}=(-\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta })(\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\cos \theta +1})=(-1)(\frac{0}{2})=0.$

نهاية (tan(θ))/θ لما θ يؤول إلى 0

باستخدام نهاية دالة الجيب، وحقيقة أن دالة الظل فردية، وحقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، نجد:

$\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\tan \theta }{\theta }=(\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta })(\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{1}{\cos \theta })=(1)(1)=1.$

مشتق دالة الجيب

نحسب مشتق دالة الجيب باستخدام تعريف بواسطة النهاية:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{\sin (\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }.$

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α، لدينا:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }=\underset{\delta \to 0}{lim}(\frac{\sin \delta }{\delta }\cos \theta +\frac{\cos \delta -1}{\delta }\sin \theta ).$

باستخدام نهايتي كل من دالة الجيب وجيب التمام:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta .$

مشتق دالة جيب التمام

من تعريف المشتق

مرة أخرى نحسب مشتق دالة جيب التمام من تعريف بواسطة النهاية:

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β، لدينا:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }=\underset{\delta \to 0}{lim}(\frac{\cos \delta -1}{\delta }\cos \theta -\frac{\sin \delta }{\delta }\sin \theta ).$

باستخدام النهايات الأولى:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta .$

من قاعدة السلسلة

لحساب مشتق دالة جيب التمام من قاعدة السلسلة، لاحظ أولاً الحقائق الثلاث التالية:

$\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

$\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\cos \theta$

الأولى والثانية هما متطبقتان مثلثيتان، والثالث تم إثباته أعلاه. باستخدام هذه الحقائق الثلاث، يمكننا كتابة ما يلي:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

يمكن اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة. لتكن $f(x)=\sin x$ و $g(\theta )=\frac{\pi }{2}-\theta$، لدينا:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }f(g(\theta ))=f^{\prime }(g(\theta ))\cdot g^{\prime }(\theta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\cdot (0-1)=-\sin \theta$

إذن:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =-\sin \theta$.

مشتق دالة الظل

من تعريف المشتقة

لحساب مشتق دالة الظل tan θ، نستخدم تعريف بواسطة النهاية:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{lim}(\frac{\tan (\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }).$

باستخدام المتطابقة المعروفة: tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)، لدينا:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{lim}[\frac{\frac{\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }-\tan \theta }{\delta }]=\underset{\delta \to 0}{lim}[\frac{\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +{\tan }^2\theta \tan \delta }{\delta (1-\tan \theta \tan \delta )}].$

باستخدام حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء نهايتين:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{\tan \delta }{\delta }\times \underset{\delta \to 0}{lim}(\frac{1+{\tan }^2\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }).$

باستخدام النهاية الخاصة بدالة الظل، وحقيقة أن tan δ يؤول إلى 0 حيث δ يؤول إلى 0:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =1\times \frac{1+{\tan }^2\theta }{1-0}=1+{\tan }^2\theta .$

نرى على الفور أن:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =1+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta .$

من قاعدة ناتج القسمة

يمكن للمرء حساب مشتق دالة الظل باستخدام قاعدة ناتج القسمة.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{{(\sin \theta )}^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot {(\cos \theta )}^{\prime }}{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }$

يمكن تبسيط البسط إلى 1 بواسطة متطابقة فيثاغورس، يعطينا:

$\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta$

إذن:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta ={\sec }^2\theta$

إثبات مشتقات الدوال المثلثية العكسية

يتم إيجاد المشتقات التالية عن طريق وضع متغير y يساوي الدالة المثلثية العكسية التي نرغب في إيجاد مشتقها. باستخدام التفاضل الضمني ثم الحل لـ dy/dx، يتم إيجاد مشتق الدالة العكسية بدلالة y. لتحويل dy/dx مرة أخرى إلى كونها بدلالة x، يمكننا رسم مثلث مرجعي على دائرة الوحدة، نعتبر θ هي y. باستخدام مبرهنة فيثاغورس وتعريف الدوال المثلثية العادية، يمكننا في النهاية التعبير عن dy/dx بدلالة x.

اشتقاق دالة الجيب العكسية

نعتبر الدالة

$y=\arcsin x$

حيث

$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$

بالتعريف

$\sin y=x$

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ $x$ وحل لـ dy/dx:

$\frac{d}{dx}\sin y=\frac{d}{dx}x$

$\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

نعوض بـ $\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}$:

$\sqrt{1-{\sin }^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

نعوض بـ $x=\sin y$:

$\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

اشتقاق دالة جيب التمام العكسية

نعتبر الدالة

$y=\arccos x$

حيث

$0\le y\le \pi$

بالتعريف

$\cos y=x$

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ $x$ وحل لـ dy/dx:

$\frac{d}{dx}\cos y=\frac{d}{dx}x$

$-\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

نعوض بـ $\sin y=\sqrt{1-{\cos }^{2}y}$:

$-\sqrt{1-{\cos }^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

نعوض بـ $x=\cos y$:

$-\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

اشتقاق دالة الظل العكسية

نعتبر الدالة

$y=\arctan x$

حيث

$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$

بالتعريف

$\tan y=x$

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ $x$ وحل لـ dy/dx:

$\frac{d}{dx}\tan y=\frac{d}{dx}x$

الطرف الأيسر:

$\frac{d}{dx}\tan y={\sec }^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=(1+{\tan }^{2}y)\frac{dy}{dx}$ باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

$\frac{d}{dx}x=1$

ومنه:

$(1+{\tan }^{2}y)\frac{dy}{dx}=1$

نعوض بـ $x=\tan y$ ، نحصل على:

$(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$

اشتقاق دالة ظل التمام العكسية

نعتبر الدالة

$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}x$

حيث $0<y<\pi$.

بالتعريف

$\cot y=x$

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ $x$ وحل لـ dy/dx:

$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$

الطرف الأيسر:

$\frac{d}{dx}\cot y=-{\csc }^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=-(1+{\cot }^{2}y)\frac{dy}{dx}$ باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

$\frac{d}{dx}x=1$

ومنه،

$-(1+{\cot }^{2}y)\frac{dy}{dx}=1$

نعوض بـ $x=\cot y$:

$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$

اشتقاق دالة القاطع العكسية

باستخدام التفاضل الضمني

نعتبر الدالة:

$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x\left|x\right|\ge 1$

بالتعريف

$x=\sec yy\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]$

$\frac{dx}{dy}=\sec y\tan y=\left|x\right|\sqrt{x^2-1}$

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء القاطع والظل في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة $\sqrt{x^2-1}$ دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$

باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة القاطع العكسية من مشتق دالة جيب التمام العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x=\arccos (\frac{1}{x})$

حيث

$\left|x\right|\ge 1$ و $y\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]$

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على $\arccos (\frac{1}{x})$:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x}{)}^2}}\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$

اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية

باستخدام التفاضل الضمني

لتكن

$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}x\left|x\right|\ge 1$

بالتعريف:

$x=\csc yy\in [-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}]$

$\frac{dx}{dy}=-\csc y\cot y=-\left|x\right|\sqrt{x^2-1}$

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء قاطع التمام وظل التمام في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة $\sqrt{x^2-1}$ دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$

باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية من مشتق دالة الجيب العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}x=\arcsin (\frac{1}{x})$

حيث

$\left|x\right|\ge 1$ و $y\in [-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}]$

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على $\arcsin (\frac{1}{x})$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x}{)}^2}}\cdot (-\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}}$

انظر أيضًا

• جدول المشتقات
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية