ظل (حساب المثلثات)

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
الظل
تمثيل دالة الظل في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تمثيل دالة الظل في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تمثيل دالة الظل في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تدوين tan(x) أو ظا (س) أو ظل (س)
تعريف الدالة tan A = الضلع المقابل لزاوية في مثلث قائم/الضلع المجاور لنفس الزاوية
دالة عكسية arctan(x)
مشتق الدالة 1+tan2(x)=1cos2(x)=sec2(x)
مشتق عكسي
(تكامل)
ln|cos(x)|+C
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟ فردية
مجال الدالة R{π2+kπ}
المجال المقابل R
دورة الدالة π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر 0
القيمة/النهاية عند π2
  • على اليمين:
  • على اليسار: +
خطوط مقاربة x=π2+kπ
جذور الدالة kπ
ملاحظات
kZ


ظل الزاوية (بالإنجليزية: Tangent of an angle)‏ هو أحد الدوال المثلثية الأساسية والذي يرمز له بـ tan أو tg باللاتينية أو ظا بالعربية،[1][2] ويُعرف بأنه نسبة الجيب إلى جيب التمام لنفس الزاوية، أي قسمة طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم.

إذا نظرنا إلى الصورة أعلاه (وهي صورة لدائرة واحدية)، نرى أن المثلثات OAB و OCD مماثلة،

لذلك يكون تعريف ظل الزاوية x (س):

tanx=DCOC
ظا (س)= :DCOC

وكذلك :

tanx=ABOA
ظا (س)= :ABOA

بالتالي يكون:

ABOA=DCOC

الذي ينطوي على العلاقة الأساسية بين الظل و الجيب sin x و جيب التمام cos x العلاقة :

tanx=sinxcosx
ظا(س)= جا س/جتا س

أصل التسمية

طالع دوال مثلثية

حساب الظل

حساب الظل في مثلث قائم:

ظل الزاوية = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور

كما أن :

ظل الزاوية ب = جيب الزاوية ب/جيب تمام الزاوية ب

مثال :

  • طول المقابل [أج] = 15 سنتيمتر
  • طول المجاور [أب] = 5 سنتيمتر

فيكون ظل الزاوية ب : المقابل [أج]/المجاور [أب] = 15/5 = 3

بعض الزوايا الشهيرة

  • tan0=tan0=0
  • tanπ6=tan30=33
  • tanπ4=tan45=1
  • tanπ3=tan60=3
  • tanπ2=tan90=
  • tan3π4=tan135=1
  • tanπ=tan180=0
  • tan3π2=tan270=

طبقا للمعادلة أعلاه يكون :

ABOA=DCOC

أي أن:

AB240=58

ومنها ينتج أرتفاع ناطحة السحاب AB :

متر AB=150

ولانحتاج لقياس ناطحة السحاب للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا، بل يكفي معرفة قانون ظل الزاوية وبعض الأبعاد السهلة التعيين لتعيين ارتفاع ناطحة السحاب .

دالة ظل الزاوية

صورة متحركة لرسم منحنى دالة الظل باستخدام دائرة الوحدة.

خصائصها

دالة الظل هي دالة حقيقية:

tan(x+π)=tan(x)

tanθ=sinθcosθ=eiθeiθ2ieiθ+eiθ2=eiθeiθi(eiθ+eiθ)

حيث i هي الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي 1.

cotx=1tanx=cosxsinx

متسلسلة

يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة متسلسلة تايلور التالية:

tanx=n=0U2n+1x2n+1(2n+1)!=n=1(1)n122n(22n1)B2nx2n1(2n)!=x+13x3+215x5+17315x7+,for |x|<π2.

حيث Bn هو عدد بيرنولي و Un هو عدد Up/down.

حساب القيم

تحسب قيم الدالة بواسطة المتسلسلة، ولكن بدلاً من استخدام النشر المحدود بواسطة متسلسلة تايلور، التي تستخدم العديد من العمليات، يحبذ استعمال خوارزمية CORDIC.

اقرأ أيضا

مراجع

  1. ^ "كيف أحسب tan الزاويه؟". أجيب. مؤرشف من الأصل في 2019-12-22. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-22.
  2. ^ "5 معلومات عن حساب زوايا المثلث". إيد أرابيا. 15 أكتوبر 2018. مؤرشف من الأصل في 2019-12-22. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-22.