كسر مستمر

من أرابيكا، الموسوعة الحرة

هذه هي النسخة الحالية من هذه الصفحة، وقام بتعديلها عبود السكاف (نقاش | مساهمات) في 00:42، 30 سبتمبر 2023 (بوت:إضافة بوابة (بوابة:رياضيات,بوابة:تحليل رياضي)). العنوان الحالي (URL) هو وصلة دائمة لهذه النسخة.

(فرق) → نسخة أقدم | نسخة حالية (فرق) | نسخة أحدث ← (فرق)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

a0+1a1+1a2+1+1an

كسر مستمر منته، حيث n عدد صحيح موجب وa0 عدد صحيح، و ai عدد صحيح موجب بالنسبة إلى i=1,…,n.

في الرياضيات، الكسر المستمر (بالإنجليزية: Continued fraction)‏ هو كسر يأخذ الصيغة التالية :

x=a0+1a1+1a2+1a3+1

حيث a0 عدد صحيح والاعداد (ai (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.

إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.[1][2][3]

تحفيز

الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

r=i=0ai10i,

حيث a0 عدد صحيح، وكل ai آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (ai) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:

  • تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
  • تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
  • لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
  • تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
  • بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
  • تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

حساب تمثيل الكسور المستمرة

ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.

أوجد صورة الكسر المستمر للعدد 3.245
3 3.245(349200)3 =0.245(49200) 1/0.245(20049) =4.082(4449)
4 4.082(4449)4 =0.082(449) 1/0.082(494) =12.250(1214)
12 12.250(1214)12 =0.250(14) 1/0.250(41) =4.000
4 4.0004 =0.000 توقف
الكسر المستمر لـ 3.245 هو [3; 4, 12, 4]
3.245=3+14+112+14

صور الكسور المستمرة

x=[a0;a1,a2,a3]

أو

x=a0+1a1+1a2+1a3.

أو

x=a0+1a1+1a2+1a3+.

وأحيانا

x=a0;a1,a2,a3.

أو

[a0;a1,a2,a3,]=limn[a0;a1,a2,,an].

الكسور المستمرة المنتهية

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

[a0;a1,a2,a3,,an,1]=[a0;a1,a2,a3,,an+1].

مثل,

2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],
4.2=21/5=[5;1,3,1]=[5;1,4].

الكسور المستمرة للمقاليب

مثل,

2.25=94=[2;4],
12.25=49=[0;2,4].

الكسور المستمرة غير المنتهية

a01,a1a0+1a1,a2(a1a0+1)+a0a2a1+1,a3(a2(a1a0+1)+a0)+(a1a0+1)a3(a2a1+1)+a1.

وبصيغة أخرى:

hn=anhn1+hn2,kn=ankn1+kn2.

وتكون الصيغ المتقاربة

hnkn=anhn1+hn2ankn1+kn2.

بعض المبرهنات المفيدة

إذا كان a0، a1، a2،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب hn وkn بالمعاودة:

hn=anhn1+hn2 h1=1 h2=0
kn=ankn1+kn2 k1=0 k2=1

نظرية 1

لاي xR موجب

[a0;a1,,an1,x]=xhn1+hn2xkn1+kn2.

نظرية 2

التقاربات [a0; a1, a2,...]تعطى بالعلاقة

[a0;a1,,an]=hnkn.

نظرية 3

إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو hn/kn، حينئذ

knhn1kn1hn=(1)n.

نشر π في كسر مستمر

31,227,333106,355113,
31+11×717×106+1106×113

الصورة المختصرة:

π=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,]
أو
π=3+17+115+11+1292+11+11+11+12+11+13+11+114+12+11+11+12+

كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

π=3+126+326+526+726+926+1126+1326+1526+=41+123+225+327+429+5211+6213+7215+

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

e=exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,].

ولدينا أيضا، عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,

exp(1/n)=[1;n1,1,1,3n1,1,1,5n1,1,1,7n1,].

إذا كانت n ّعدد فردي

exp(2/n)=[1;(n1)/2,6n,(5n1)/2,1,1,,3k+(n1)/2,(12k+6)n,3k+(5n1)/2,1,1,]

الحالة الخاصة عند n = 1:

e2=exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,,3k,12k+6,3k+2,1,1,].

الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي

tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,]

حيث n عدد صحيح موجب; كذلك

tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15]

و

tan(1/n)=[0;n1,1,3n2,1,5n2,1,7n2,].

إذا كانت (In(x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q

S(p/q)=Ip/q(2/q)I1+p/q(2/q),

a0+1a1+1a2+1+1an

كسر متصل منته,حيث a0 هو عدد صحيح ما، و n هو عدد صحيح طبيعي و ai هي أعداد صحيحة طبيعية.

الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :

(...,ai = (3,1,4,1,5,9,2

لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :

  • التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
  • لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

[a0; a1, … an − 1, an] = [a0; a1, … an − 1, an − 1, 1]

تاريخ الكسور المستمرة

  • في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.
  • في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن π عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).

انظر أيضا

مراجع

  1. ^ "Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root", The Ben Paul Thurston Blog نسخة محفوظة 13 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
  2. ^ Hardy، G.H.؛ Wright، E.M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (ط. Fifth). Oxford.
  3. ^ "E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1". مؤرشف من الأصل في 2015-07-12. اطلع عليه بتاريخ 2008-03-16.

وصلات خارجية