معادلة جرايمان

في نظرية التحكم، معادلة جرايمان Cross Gramian هي مصفوفة جرايمانية تستخدم لتحديد قابلية التحكم وقابلية الملاحظة لأي نظام خطي.

لكل نظام مستقل زمنيًا (منظومة رصينة) يكون:

$\dot{x}=Ax+Bu$

$y=Cx$

وبالتالي يكون شكل المعادلة:

$W_X:=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{At}BC{e}^{At}dt$

وباستخدام معادلة سيلفستر:

$A{W}_X+W_{X}A=-BC$

يكون كل من $(A,B,C)$ قابلين للتحكم وللملاحظة. إذا كان المصفوفة $W_X$ مصفوفة قابلة للعكس.
إذا كان المنظومة $(A,B,C)$ متماثلة، فإنه يمكن صياغتها بالشكل التالي:

$AJ=J{A}^T$

$B=J{C}^T$

وبالتالي فإن القيمة المطلقة للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية تساوي:

$|\lambda (W_X)|=\sqrt{\lambda (W_C{W}_O)}.$

ملاحظة

يتم التعبير عن معادلة جرايمان بالرمز $W_{CO}$ .

انظر أيضًا

• قابلية التحكم لجرايمان
• قابلية ملاحظة لجرايمان
• معادلة أبيل