معادلة أبيل

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

معادلة أبيل هي معادلة دالية سميت نسبة لعالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل يمكن كتابتها بالشكل التالي:

f(h(x))=h(x+1)

أو الشكل التالي:

α(f(x))=α(x)+1

ويتم التحكم في عدد مرات تكرار الدالة f.

المعادلة المكافئة

هاتان المعادلتان متكافئتان. بفرض أن α هي دالة عكسية، يمكن كتابه المعادلة الثانية بالصورة التالية:

α1(α(f(x)))=α1(α(x)+1).

وبأخذ x = α−1(y) يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي

f(α1(y))=α1(y+1).

للدالة f(x)، بفرض أنها دالة معرفة يكون المطلوب هو حل المعادلة الدالية للدالة α−1h، بحيث تحقق متطلبات أخرى مثل α−1(0) = 1.

عند حدوث تغير كالتالي sα(x) = Ψ(x)، لمعامل حقيقي s، تعمل معادلة أبيل كمعادلة شرودنجر Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

أما عند حدوث تغير كالتالي F(x) = exp(sα(x)) تعمل المعادلة كمعادلة بوتشر F(f(x)) = F(x)s..

تعتبر معادلة أبيل حالة خاصة لمعادلات التحويل:[1]

ω(ω(x,u),v)=ω(x,u+v),
ω(x,1)=f(x)
ω(x,u)=α1(α(x)+u).     (لاحظ أن ω(x,0) = x.

التاريخ

قديما، كان الشكل العام للمعادلة[2] [3] يتعامل مع متغير واحد وتقدم تحليل خاص لها.[4] [5][6]

في حالة دالة التحويل الخطي، تكون الحلول حلول تقريبة.[7]

حالة خاصة

تعتبر معادلة التكرار الأسي الرابع السالب هي حالة خاصة من حالات معادلة أبيل حيث f = exp..

في حالة التكرار يتم كتابة المعادلة بالصورة التالية:

α(f(f(x)))=α(x)+2,

ومنها

α(fn(x))=α(x)+n.

الحلول

  • الحل الرسمي: حل وحيد.[8]
  • الحلول التحليلية: حلول تقريبية.[9]

انظر أيضا

المصادر

  1. ^ Aczél, János, (1966): Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
  2. ^ Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik. ج. 1: 11–15. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
  3. ^ A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. ج. 19 ع. 2: 51–106. DOI:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
  4. ^ Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online نسخة محفوظة 27 أكتوبر 2020 على موقع واي باك مشين.
  5. ^ G. Belitskii؛ Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). Studia Mathematica. ج. 134 ع. 2: 135–141. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-10-22.
  6. ^ Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. ج. 1 ع. 1: 95–102. DOI:10.1016/j.nahs.2006.04.002.
  7. ^ G. Belitskii؛ Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). Studia Mathematica. ج. 127: 81–89. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-10-22.
  8. ^ Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia نسخة محفوظة 11 أكتوبر 2016 على موقع واي باك مشين.
  9. ^ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis نسخة محفوظة 04 مارس 2016 على موقع واي باك مشين.