متطابقة فاندرموند

في التوافقيات، متطابقة فانديرموند (بالإنجليزية: Vandermonde's identity)‏ هي المتطابقة التالية للمعاملات الثنائية:

$(\binom{m + n}{r}) = \sum_{k = 0}^{r} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{r - k})$ حيث r و m و n أعداد صحيحة.^[1]

سميت هذه المتطابقة هكذا نسبة إلى ألكسندر ثيوفيل فانديرموند (1772)، رغم أنها كانت معروفة من قبل منذ 1303 لدى الرياضياتي الصيني زو شيجيه (شو شي-شييه).

براهين

جبري

بشكل عام، يعطى جداء متعددتي حدود درجتاهما "m" و "n" ، على التوالي، ب

$(\sum_{i = 0}^{m} a_{i} x^{i}) (\sum_{j = 0}^{n} b_{j} x^{j}) = \sum_{r = 0}^{m + n} (\sum_{k = 0}^{r} a_{k} b_{r - k}) x^{r},$

من خلال النظرية الحدانية

$. (1 + x)^{m + n} = \sum_{k = 0}^{m + n} (\binom{m + n}{k}) x^{k}$

باستخدام النظرية الحدانية أيضا ل m و n، ثم المعادلة أعلاه لجداء حدوديتين، نحصل على:

\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{m + n} (\binom{m + n}{k}) x^{k} & = (1 + x)^{m + n} \\ = (1 + x)^{m} (1 + x)^{n} \\ = (\sum_{i = 0}^{m} (\binom{m}{i}) x^{i}) (\sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) x^{j}) \\ = \sum_{k = 0}^{m + n} (\sum_{r = 0}^{k} (\binom{m}{r}) (\binom{n}{k - r})) x^{k}, \end{array}

من خلال مقارنة معاملات $x k$ نجد أن

$. \sum_{r = 0}^{k} (\binom{m}{r}) (\binom{n}{k - r}) = (\binom{m + n}{k})$

تقابلي

احتمالي

مثال استعمال

أثبت أن

$. \sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$

البرهان

المجموع أعلاه هو حالة خاصة من متطابقة فانديرموند عند $. m = k = n$

هكذا نحصل على

$. \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) (\binom{n}{n - r}) = (\binom{n + n}{n})$

إذن، حسب المتطابقة $(\binom{n}{r}) = (\binom{n}{n - r})$ ، يكون

. \sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

متطابقة شو-فانديرموند

متطابقة شو-فانديرموند باسم فانديرموند والرياضياتي الصيني زو شيجيه (حوالي 1260 - حوالي 1320) تعمم متطابقة فانديرموند لقيم غير صحيحة (باستعمال التعريف المعمم للمعاملات الثنائية، $(\binom{z}{k}) = \frac{z (z - 1) (z - 2) \dots (z - k + 1)}{k!}$ ):

$, (\binom{s + t}{n}) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{s}{k}) (\binom{t}{n - k})$

مراجع

^ "معلومات عن متطابقة فاندرموند على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2018-08-11.

https://brilliant.org/wiki/vandermondes-identity/

Askey، Richard (1975)، متعددة حدود متعامدة and دوال خاصةs، Regional Conference Series in Applied Mathematics، Philadelphia, PA: SIAM، ج. 21، ص. viii+110.

[1] "معلومات عن متطابقة فاندرموند على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2018-08-11.

[1]